數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)
初學(xué)銳角三角函數(shù)時(shí)我們最好借助畫(huà)直角三角形來(lái)理解。
1，Sin α 指的是構(gòu)成直角的兩條邊中的某一條與斜邊夠成的角的正弦直 算法是 構(gòu)成直角的兩條邊中的某一條與斜邊夠成的角的對(duì)邊比上斜邊的直。（α 指的是構(gòu)成的角度）
2，Cos α 指的是構(gòu)成直角的兩條邊中的某一條與斜邊夠成的角的余弦直 算法是 構(gòu)成該角的直角邊與斜邊的比值（α 指的是構(gòu)成的角度）
3，tan α 是指兩條直角邊的比值 算法是所求角的正切直的角的對(duì)邊比上另一條直角邊。（α 指的是構(gòu)成的角度）
細(xì)講解三角函數(shù)《銳角》三角形
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直接講：1、銳角三角函數(shù)定義
銳角角A的正弦,余弦和正切,余切都叫做角A的銳角三角函數(shù)
正弦等于對(duì)邊比斜邊
正切等于對(duì)邊比鄰邊
2、互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3、同角三角函數(shù)間的關(guān)系
平方關(guān)系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·積的關(guān)系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒數(shù)關(guān)系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,
余弦等于角A的鄰邊比斜邊
正切等于對(duì)邊比鄰邊,
4、三角函數(shù)值
（1）特殊角三角函數(shù)值
（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。
（3）銳角三角函數(shù)值的變化情況
（i）銳角三角函數(shù)值都是正值
（ii）當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，
正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）
余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?
正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）
余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?
（iii）當(dāng)角度在0°≤α≤90°間變化時(shí)，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
當(dāng)角度在0°<α<90°間變化時(shí)，
tanα>0, cotα>0.
“銳角三角函數(shù)”屬于三角學(xué)，是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》看，中學(xué)數(shù)學(xué)把三角學(xué)內(nèi)容分成兩個(gè)部分，第一部分放在義務(wù)教育第三學(xué)段，第二部分放在高中階段。在義務(wù)教育第三學(xué)段，主要研究銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容，本套教科書(shū)安排了一章的內(nèi)容，就是本章“銳角三角函數(shù)”。在高中階段的三角內(nèi)容是三角學(xué)的主體部分，包括解斜三角形、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和簡(jiǎn)單的三角方程。無(wú)論是從內(nèi)容上看，還是從思考問(wèn)題的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基礎(chǔ)，掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的方法，是學(xué)習(xí)三角函數(shù)和解斜三角形的重要準(zhǔn)備。
本章包括銳角三角函數(shù)的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形等內(nèi)容。銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在實(shí)際當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用，這也為銳角三角函數(shù)提供了與實(shí)際聯(lián)系的機(jī)會(huì)。研究銳角三角函數(shù)的直接基礎(chǔ)是相似三角形的一些結(jié)論，解直角三角形主要依賴(lài)銳角三角函數(shù)和勾股定理等內(nèi)容，因此相似三角形和勾股定理等是學(xué)習(xí)本章的直接基礎(chǔ)。本章重點(diǎn)是銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法。銳角三角函數(shù)的概念既是本章的難點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵。難點(diǎn)在于，銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，這種角與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及用含有幾個(gè)字母的符號(hào)sinA、cosA、tanA表示函數(shù)等，學(xué)生過(guò)去沒(méi)有接觸過(guò)，因此對(duì)學(xué)生來(lái)講有一定的難度。至于關(guān)鍵，因?yàn)橹挥姓_掌握了銳角三角函數(shù)的概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，從而才能利用這些關(guān)系解直角三角形。
本章內(nèi)容與已學(xué) “相似三角形”“勾股定理”等內(nèi)容聯(lián)系緊密，并為高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。
一、教科書(shū)內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
本章知識(shí)的展開(kāi)順序
（二）教科書(shū)內(nèi)容
本章內(nèi)容分為兩節(jié)，第一節(jié)主要學(xué)習(xí)正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念，第二節(jié)主要研究直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的內(nèi)容。第一節(jié)內(nèi)容是第二節(jié)的基礎(chǔ)，第二節(jié)是第一節(jié)的應(yīng)用，并對(duì)第一節(jié)的學(xué)習(xí)有鞏固和提高的作用。
在第28.1節(jié) “銳角三角函數(shù)”中，教科書(shū)先研究了正弦函數(shù)，然后在正弦函數(shù)的基礎(chǔ)上給出余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念。對(duì)于正弦函數(shù)，教科書(shū)首先設(shè)置了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是在直角三角形中，已知一個(gè)銳角和這個(gè)銳角的對(duì)邊求斜邊的問(wèn)題，由于這個(gè)銳角是一個(gè)特殊的角，因此可以利用“在直角三角形中，角所對(duì)的邊是斜邊的一半” 這個(gè)結(jié)論來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，接下去教科書(shū)又提出問(wèn)題，如果角所對(duì)的邊的長(zhǎng)度發(fā)生改變，那么斜邊的長(zhǎng)變?yōu)槎嗌?？解決這個(gè)的問(wèn)題仍然需要利用上述結(jié)論，這樣就能夠使學(xué)生體會(huì)到“無(wú)論直角三角形的大小如何，角所對(duì)的邊與斜邊的比總是一個(gè)常數(shù)”，這里體現(xiàn)了函數(shù)的對(duì)應(yīng)的思想，即的角對(duì)應(yīng)數(shù)值。接下去，教科書(shū)又設(shè)置一個(gè)“思考”欄目，讓學(xué)生進(jìn)一步探討在直角三角形中，的銳角所對(duì)的邊與斜邊的比有什么特點(diǎn)，利用勾股定理就可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)比值也是一個(gè)常數(shù)，這樣就使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“無(wú)論直角三角形的大小如何，角所對(duì)的邊與斜邊的比總是一個(gè)常數(shù)”，通過(guò)探討上面這兩個(gè)特殊的直角三角形，能夠使學(xué)生感受到在直角三角形中，如果一個(gè)銳角的度數(shù)分別是和，那么它們所對(duì)的邊與斜邊的比分別都是常數(shù)，這里體現(xiàn)了函數(shù)的思想，這也為引出正弦函數(shù)的概念作好鋪墊。有了上面這樣的感受，會(huì)使學(xué)生自然地想到，在直角三角形中，一個(gè)銳角取其他一定的度數(shù)時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是常數(shù)的問(wèn)題。這樣教科書(shū)就進(jìn)入對(duì)一般情況的討論。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，教科書(shū)設(shè)置了一個(gè)“探究”欄目，讓學(xué)生探究對(duì)于兩個(gè)大小不等的直角三角形，如果有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)相等的銳角所對(duì)的直角邊與斜邊的比是否相等，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)結(jié)論就可以得到“在直角三角形中，當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值”，由此引出正弦函數(shù)的概念，這樣引出正弦函數(shù)的概念，能夠使學(xué)生充分感受到函數(shù)的思想，即在直角三角形中，一個(gè)銳角的每一個(gè)確定的值，sinA都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)。在引出正弦函數(shù)的概念之后，教科書(shū)在一個(gè)“探究”欄目中，類(lèi)比著正弦的概念，從邊與邊的比的角度提出一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題：在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角確定時(shí)，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定，此時(shí)，其他邊之間的比是否也確定了呢？提出這個(gè)問(wèn)題的目的是要引出對(duì)余弦函數(shù)和正切函數(shù)的討論。由于教科書(shū)比較詳細(xì)地討論了正弦函數(shù)的概念，因此對(duì)余弦函數(shù)和正切函數(shù)概念的討論采用了直接給出的方式，具體的討論由學(xué)生類(lèi)比著正弦函數(shù)自己完成。在余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念給出之后，教科書(shū)在邊注中分析了銳角三角函數(shù)的角與數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，突出了函數(shù)的思想。一些特殊角的三角函數(shù)值是經(jīng)常用到的，教科書(shū)借助于學(xué)生熟悉的兩種三角尺研究了角的正弦、余弦和正切值，并以例題的形式介紹了已知銳角三角函數(shù)值求銳角的問(wèn)題，當(dāng)然這時(shí)所要求出的角都是、和的特殊角。教科書(shū)把求特殊角的三角函數(shù)值和已知特殊角的三角函數(shù)值求角這兩個(gè)相反方向的問(wèn)題安排在一起，目的是體現(xiàn)銳角三角函數(shù)中角與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。本節(jié)最后，教科書(shū)介紹了如何使用計(jì)算器求非特殊角的三角函數(shù)值以及如何根據(jù)三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的角等內(nèi)容。由于不同的計(jì)算器操作步驟有所不同，教科書(shū)只就常見(jiàn)的情況進(jìn)行介紹。
第28.2節(jié)“解直角三角形”是在第一節(jié)“銳角三角函數(shù)”的基礎(chǔ)上研究解直角三角形的方法及其在實(shí)際中的應(yīng)用。本節(jié)開(kāi)始，教科書(shū)設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)際背景，其中包括兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，這兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題分別是已知直角三角形的一個(gè)銳角和斜邊，求這個(gè)角的對(duì)邊和已知直角三角形的一條直角邊和斜邊，求這兩個(gè)邊的夾角的問(wèn)題，解決這兩個(gè)問(wèn)題需要用到第28.1節(jié)學(xué)習(xí)的有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的內(nèi)容。這兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上屬于求解直角三角形的問(wèn)題，設(shè)計(jì)這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的目的是要引出解直角三角形的內(nèi)容。因此，教科書(shū)借助于這個(gè)實(shí)際問(wèn)題背景，設(shè)計(jì)了一個(gè)“探究”欄目，要求學(xué)生探討在直角三角形中，根據(jù)兩個(gè)已知條件（其中至少有一個(gè)是邊）求解直角三角形，最后教科書(shū)歸納給出求解直角三角形常用的反映三邊關(guān)系的勾股定理，反映銳角之間關(guān)系的互余關(guān)系，以及反映邊角之間關(guān)系的銳角三角函數(shù)關(guān)系。這樣，教科書(shū)就結(jié)合實(shí)際問(wèn)題背景，探討了解直角三角形的內(nèi)容。接下去，教科書(shū)又結(jié)合四個(gè)實(shí)際問(wèn)題介紹了解直角三角形的理論在實(shí)際中的應(yīng)用。第一個(gè)實(shí)際問(wèn)題是章前引言中提到的確定比薩斜塔傾斜程度的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是已知直角三角形的斜邊和一個(gè)銳角的對(duì)邊，求這個(gè)銳角的問(wèn)題，這要用到正弦函數(shù)；第二個(gè)問(wèn)題是確定神舟5號(hào)變軌后，所能看到地面的最長(zhǎng)距離，這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是已知直角三角形的斜邊和一個(gè)銳角的鄰邊，求這個(gè)銳角的問(wèn)題，這要用到余弦函數(shù)；第三個(gè)問(wèn)題是確定樓房高度的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題是已知直角三角形的一個(gè)銳角和它的鄰邊，求這個(gè)角的對(duì)邊，這要用到正切函數(shù)；第四個(gè)實(shí)際問(wèn)題是在航海中確定輪船距離燈塔的距離，解決這個(gè)問(wèn)題需要反復(fù)利用正弦函數(shù)。這樣教科書(shū)就通過(guò)四個(gè)實(shí)際問(wèn)題體現(xiàn)了正弦、余弦和正切這幾個(gè)銳角三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。本節(jié)最后，教科書(shū)采用將測(cè)量大壩的高度與測(cè)量山的高度相對(duì)比的方式，直觀形象地介紹了“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的微積分的基本思想。
（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
對(duì)于本章內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)達(dá)到以下幾方面要求：
1. 了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說(shuō)出這個(gè)角；
2. 能夠正確地使用計(jì)算器，由已知銳角求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角；
3. 理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；
4. 通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想，通過(guò)解直角三角的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題對(duì)微積分的思想有所感受。
二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)
（一）加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系
本章主要包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形兩大塊內(nèi)容，這兩大塊內(nèi)容是緊密聯(lián)系的。銳角三角函數(shù)是解直角三角形的基礎(chǔ)，解直角三角形的理論又為解決一些實(shí)際問(wèn)題提供了強(qiáng)硬有力的工具，解直角三角形為銳角三角函數(shù)提供了與實(shí)際緊密聯(lián)系的沃土。因此本章編寫(xiě)時(shí)，加強(qiáng)了銳角三角函數(shù)與解直角三角形兩大塊內(nèi)容與實(shí)際的聯(lián)系。例如，在章前引言中利用確定山坡上所鋪設(shè)的水管的長(zhǎng)度問(wèn)題引出正弦函數(shù)；結(jié)合使用梯子攀登墻面問(wèn)題引出解直角三角形的概念和方法等。再有，教科書(shū)利用背景豐富有趣的四個(gè)實(shí)際問(wèn)題，從不同的角度展示了解直角三角形在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用。教科書(shū)這樣將銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容與實(shí)際問(wèn)題緊密聯(lián)系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以讓學(xué)生體會(huì)銳角三角函數(shù)和解直角三角形的理論來(lái)源于實(shí)際，是實(shí)際的需要，另一方面也讓學(xué)生看到它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題中所起的作用，感受由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再將數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案回到實(shí)際問(wèn)題的這種實(shí)踐----理論----實(shí)踐的認(rèn)識(shí)過(guò)程，這個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程符合人的認(rèn)知規(guī)律，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，豐富有趣的實(shí)際問(wèn)題也能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
（二）加大學(xué)生的思維空間，發(fā)展學(xué)生的思維能力
本章編寫(xiě)時(shí)一方面繼續(xù)保持原有的通過(guò)設(shè)置“觀察”“思考”“討論”“探究”“歸納”等欄目來(lái)擴(kuò)大學(xué)生探索交流的空間，發(fā)展學(xué)生的思維能力，同時(shí)結(jié)合本章內(nèi)容的特點(diǎn)，又考慮到學(xué)生的年齡特征（學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的學(xué)生已經(jīng)是九年級(jí)），對(duì)于本章的一些結(jié)論，教科書(shū)采用了先設(shè)置一些探究性活動(dòng)欄目，然后直接給出結(jié)論的做法，而將數(shù)學(xué)結(jié)論的探索過(guò)程完全留給學(xué)生，不像前兩個(gè)年級(jí)那樣，將這些探究過(guò)程通過(guò)填空或留白等方式展示探索過(guò)程來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。例如，教科書(shū)在詳細(xì)研究了正弦函數(shù)，給出正弦函數(shù)的概念之后，設(shè)置了一個(gè)“探究”欄目，并提出問(wèn)題“在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角確定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定，那么，此時(shí)其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？”，接下去，教科書(shū)直接給出了余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念，而將“鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比也分別是確定的”這個(gè)結(jié)論的探究過(guò)程完全留給學(xué)生自己完成。再如，對(duì)于、、這幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，教科書(shū)也是首先設(shè)置一個(gè)“思考”欄目，在欄目中提出問(wèn)題“兩塊三角尺中有幾個(gè)不同的銳角，分別求出這幾個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值”，然后教科書(shū)用一個(gè)表格直接給出了這幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，而將這些角的三角函數(shù)值的求解過(guò)程留給學(xué)生完成。這樣的一種編寫(xiě)方式就為學(xué)生提供了更加廣闊的探索空間，開(kāi)闊思路，發(fā)展學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式．
（三）揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)
本章的一個(gè)教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的概念，這個(gè)概念與學(xué)生以前所學(xué)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)有所不同，它反映的不是數(shù)值與數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是角度與數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生初次接觸這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解起來(lái)有一定的困難，而這種對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)學(xué)生深刻地理解函數(shù)的概念又有很大幫助，因此，教科書(shū)針對(duì)這種情況，加強(qiáng)了對(duì)銳角三角函數(shù)所反映的角度與數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的刻畫(huà)。例如，對(duì)于正弦函數(shù)，教科書(shū)首先研究了在直角三角形中，和的銳角所對(duì)的邊與斜邊的比分別是常數(shù)和，然后就一般情況進(jìn)行研究，并得出結(jié)論：當(dāng)一個(gè)銳角的度數(shù)一定時(shí)，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)常數(shù)，這樣就突出了銳角與比值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即對(duì)于每一個(gè)銳角，都有一個(gè)比值與之對(duì)應(yīng)，從而給出正弦函數(shù)的定義。同樣，教科書(shū)在闡述余弦函數(shù)和正切函數(shù)時(shí)也突出了銳角與“鄰邊與斜邊的比值”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及銳角與“對(duì)邊和鄰邊的比值”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并在邊注進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這種函數(shù)關(guān)系：對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)。同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)。這樣，就可以讓學(xué)生對(duì)變量的性質(zhì)以及變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有更深刻的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)函數(shù)概念的理解。
微積分的思想在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，其基本思想是“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”，這個(gè)基本思想是很樸素的，是可以在初等數(shù)學(xué)中反映的。教科書(shū)在本章最后，結(jié)合解直角三角形的內(nèi)容，采用與測(cè)量大壩的高度和測(cè)量山的高度相對(duì)比的方式，直觀形象地介紹了在確定山的高度時(shí)，如何將山坡“化整為零”，如何將山坡的長(zhǎng)度“化曲為直、以直代曲”，又如何將每一部分的高度“積零為整”，這樣編寫(xiě)的目的是要體現(xiàn)微積分的基本思想，讓學(xué)生通過(guò)直觀形象的例子對(duì)微積分的基本思想有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。綜上所述，本章編寫(xiě)時(shí)注意突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，這有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題
（一）注意加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系
第27章“相似”為本章研究銳角三角函數(shù)打下基礎(chǔ)，因?yàn)槔谩跋嗨迫切蔚膶?duì)應(yīng)邊成比例”可以解釋銳角三角函數(shù)定義的合理性。例如，教科書(shū)在研究正弦函數(shù)的概念時(shí)，利用了“在直角三角形中，所對(duì)的邊等于斜邊的一半”，得出了“在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于”。事實(shí)上，在直角三角形中，如果一個(gè)角等于 ，那么這樣的直角三角形都相似，因此，不管這樣的三角形的大小如何，它們的對(duì)應(yīng)邊成比例，這也就是說(shuō)，對(duì)于，雖然教科書(shū)是從兩個(gè)特殊的直角三角形（的對(duì)邊分別是70和50）歸納得到的，但這個(gè)結(jié)論是可以從三角形相似的角度來(lái)解釋的。同樣，對(duì)于有類(lèi)似的情況。當(dāng)然，教科書(shū)利用相似三角形的有關(guān)結(jié)論解釋了在一般情形中正弦定義的合理性。因此，銳角三角函數(shù)的內(nèi)容與相似三角形是密切聯(lián)系的，教學(xué)中要注意加強(qiáng)兩者之間的聯(lián)系。
全等三角形的有關(guān)理論對(duì)理解本章內(nèi)容有積極的作用。例如，在研究解直角三角形時(shí)，教科書(shū)通過(guò)探索得到結(jié)論：事實(shí)上，在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，如果在知道兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊），這個(gè)三角形就確定下來(lái)了，這樣就可以由已知的兩個(gè)元素求出其余的三個(gè)元素，這個(gè)結(jié)論的獲得實(shí)際上利用了直角三角形全等的有關(guān)理論，因?yàn)閷?duì)于兩個(gè)直角三角形，如果已知兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等，并且其中有一個(gè)元素是邊，那么這兩個(gè)直角三角形全等，也就是已知一個(gè)直角三角形的除直角外的兩個(gè)元素，其中至少有一個(gè)是邊，這個(gè)三角形就確定下來(lái)，因此就可以利用這兩個(gè)元素求出其余的元素。因此，利用三角形全等的理論，有利于理解解直角三角形的相關(guān)內(nèi)容。教學(xué)中要注意加強(qiáng)知識(shí)間的相互聯(lián)系，使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移。
另外，本章所研究的銳角三角函數(shù)反映了銳角與數(shù)值之間的函數(shù)關(guān)系，這雖然與一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)所反映的數(shù)值與數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有所不同，但它們都反映了變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本質(zhì)上是一致的，因此教學(xué)時(shí)，要注意讓學(xué)生體會(huì)這些不同函數(shù)之間的共同特征，更好地理解函數(shù)的概念。
（二）注意數(shù)形結(jié)合，自然體現(xiàn)數(shù)與形之間的聯(lián)系
數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，本章內(nèi)容又是數(shù)形結(jié)合的很理想的材料。例如，對(duì)于銳角三角函數(shù)的概念，教科書(shū)是利用學(xué)生對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)（在直角三角形中，所對(duì)的邊等于斜邊的一半，的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有關(guān)知識(shí)引入的，結(jié)合幾何圖形來(lái)定義銳角三角函數(shù)的概念，將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，有利于學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的本質(zhì)。再比如，解直角三角形在實(shí)際中有著廣泛的作用，在將這些實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用銳角三角函數(shù)解直角三角形時(shí)，離不開(kāi)幾何圖形，這時(shí)往往需要根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，通過(guò)分析幾何圖形得到邊、角等的關(guān)系，再通過(guò)計(jì)算、推理等使實(shí)際問(wèn)題得到解決。因此在本章教學(xué)時(shí)，要注意加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，在引入概念、推理論述、化簡(jiǎn)計(jì)算、解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，都要盡量畫(huà)圖幫助分析，通過(guò)圖形幫助找到直角三角形的邊、角之間的關(guān)系，加深對(duì)直角三角形本質(zhì)的理解。
