定理(中國剩余定理的典故)

1.中國剩余定理的典故

“ 中國古代數(shù)學有著輝煌的成就，今天大小吳將為大家介紹在中國數(shù)學史上非常著名的中國剩余定理。

1 韓信點兵問題 這個問題首先要從一個叫做“韓信點兵”的故事說起。秦末時期，楚漢相爭，漢初三杰之一的韓信有一次帶1500名兵士打仗，戰(zhàn)死四五百人。

為了統(tǒng)計剩余士兵的個數(shù)，韓信令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韓信據(jù)此很快說出人數(shù)：1049人。

漢軍本來就十分信服韓信大將軍，經(jīng)此之后就更加相信韓信是“天神下凡，神機妙算"，于是士氣大振，鼓聲喧天，在接下來的戰(zhàn)役中漢軍步步緊逼，楚軍亂作一團，大敗而逃。韓信由此名揚天下，被后世譽為“兵仙“，“神帥”。

那么韓信是如何快速算出士兵人數(shù)的呢？韓信點兵問題可以用現(xiàn)代數(shù)學語言描述如下：若士兵人數(shù)是，則有除以3余2，除以5余4，除以7余6.我們也可以用同余式來表示這個問題：我們發(fā)現(xiàn)，若將，則可以同時被3、5、7整除，即 所以一定是3、5、7的最小公倍數(shù)的整數(shù)倍，由于3、5、7兩兩互素，則 所以 即 其中是正整數(shù)，當時 這樣，韓信就計算出了剩余士兵的人數(shù)。2 孫子算經(jīng)與物不知數(shù)問題 實際上，這類問題就是在求解初等數(shù)論中的同余方程組。

在數(shù)學史上韓信點兵問題也被稱為物不知數(shù)問題，最早記載于一千多年前的《孫子算經(jīng)》中：“ 今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學語言，即解整數(shù)滿足的同余式 這個問題和上文所說的韓信點兵問題類似，但是，它不具備上一個問題那么好的性質(zhì)，因為無論使加上或減去一個數(shù)，都無法同時被3、5、7整除。那么，這個問題該如何解決呢？宋朝數(shù)學家秦九韶于1247年《數(shù)書九章》卷一、二《大衍類》對“物不知數(shù)”問題做出了完整系統(tǒng)的解答。

明朝數(shù)學家程大位將解法編成易于上口的《孫子歌訣》：“ 三人同行七十稀，五樹梅花廿一支（二十一），七子團圓正半月，除百零五使得知。這首詩的意思是：將除以3得到的余數(shù)乘以70，將除以5得到的余數(shù)乘以21，將除以7得到的余數(shù)乘以15，全部加起來后除以105得到的余數(shù)就是答案。

根據(jù)這個算法，可得：因此物不知數(shù)問題的最小正整數(shù)解即為，事實上，23確實滿足除以3余2，除以5余3，除以7余2，這個問題的通解為 其中是自然數(shù)。3 中國剩余定理 對于這個問題，如果是一般情況，該如何處理呢？例如，有同余式：我們把這個問題分解成三個同余式方程組 那么初始問題就有最小正整數(shù)解 因此只要能找到滿足條件的即可。

以為例，由同余式可得，因此 所以存在使得 因此 其中的存在性可以證明，因為有如下定理：“ 若，則必然存在使得 對于這個定理的證明，可以考慮集合中的最小正整數(shù)，只要證明這個最小正整數(shù)就是1即可?？紤]其中最小的正整數(shù)，，只需證明且，由于互素，所以只能為1.這件事可以用反證法證明：若不能整除，則必有 因此 因此余數(shù)也可以表示成一個整數(shù)乘以加上另一個整數(shù)乘以的形式，又因為是小于的，這就和最開始的假設(shè)是最小的正整數(shù)相矛盾了，因此必有 因此存在性得證。

事實上這樣的不僅存在，而且也比較好尋找，其中70就是既能被5、7同時整除又能除以3余1的最小正整數(shù)，所以，同理可得，，因此這類問題就有了通解：原來上面的古詩中出現(xiàn)的70、21、15這三個數(shù)是這么來的！一般來講，給定個不同的素數(shù)，則同余方程組 一定是有解的，求解這個問題只需構(gòu)造基礎(chǔ)解系：因此有 因為都是素數(shù)，因此的存在性是顯然的。求解上述問題的過程與方法就稱為“中國剩余定理”，又稱為“孫子定理”。

中國剩余定理的傳播最早在1852年由英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲。1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，成為了初等數(shù)論中非常重要的一個定理。

2.墨菲定律的典故及詳細內(nèi)容

墨菲定律（Murphy's Law），亦稱莫非定律、莫非定理、或摩菲定理，是西方世界常用的俚語。墨菲定律主要內(nèi)容是：事情如果有變壞的可能，不管這種可能性有多小，它總會發(fā)生。比如你衣袋里有兩把鑰匙，一把是你房間的，一把是汽車的，如果你現(xiàn)在想拿出車鑰匙，會發(fā)生什么？是的，你往往是拿出了房間鑰匙。

“墨菲法則”、“派金森定理”和“彼得原理”并稱為二十世紀西方文化中最杰出的三大發(fā)現(xiàn)。知道是誰發(fā)現(xiàn)了這個定律嗎？你能相信它不是由哲學家、牧師、文學家或是科學家創(chuàng)造，而是一名工程師的即興發(fā)揮嗎？

愛德華·墨菲（Edward A. Murphy）是一名工程師，他曾參加美國空軍于 1949年進行的MX981實驗。這個實驗的目的是為了測定人類對加速度的承受極限。其中有一個實驗項目是將16個火箭加速度計懸空裝置在受試者上方，當時有兩種方法可以將加速度計固定在支架上，而不可思議的是，竟然有人有條不紊地將16個加速度計全部裝在錯誤的位置。于是墨菲作出了這一著名的論斷，并被那個受試者在幾天后的記者招待會上引用。

幾個月后這一“墨菲定律”被廣泛引用在與航天機械相關(guān)的領(lǐng)域。經(jīng)過多年，這一“定律”逐漸進入習語范疇，其內(nèi)涵被賦予無窮的創(chuàng)意，出現(xiàn)了眾多的變體，其中最著名的一條也被稱為 Finagle's Law（菲納格定律），具體內(nèi)容為：If anything can go wrong, it will.（會出錯的，終將會出錯。）。這一定律被認為是對"墨菲定律"最好的模仿和闡述。 墨菲定律（Murphy's Law）緣于美國一位名叫墨菲的上尉。他認為他的某位同事是個倒霉蛋，不經(jīng)意說了句笑話：“如果一件事情有可能被弄糟，讓他去做就一定會弄糟?！?/p>

這句話迅速流傳。經(jīng)過多年，這一“定律”逐漸進入習語范疇，其內(nèi)涵被賦予無窮的創(chuàng)意，出現(xiàn)了眾多的變體，“如果壞事有可能發(fā)生，不管這種可能性多么小，它總會發(fā)生，并引起最大可能的損失”、“If anything can go wrong, it will.（會出錯的，終將會出錯）”、“笑一笑，明天未必比今天好?！薄皷|西越好，越不中用”、“別試圖教豬唱歌，這樣不但不會有結(jié)果，還會惹豬不高興！”

墨菲定律的原句是這樣的：If there are two or more ways to do something, and one of those ways can result in a catastrophe, then someone will do it.（如果有兩種選擇，其中一種將導致災難，則必定有人會作出這種選擇。）

“墨菲定律”誕生于20世紀中葉，這正是一個經(jīng)濟飛速發(fā)展，科技不斷進步，人類真正成為世界主宰的時代。在這個時代，處處彌漫著樂觀主義的精神：人類取得了對自然、對疾病以及其他限制的勝利，并將不斷擴大優(yōu)勢；我們不但飛上了天空，而且飛向太空……我們能夠隨心所欲地改造世界的面貌，這一切似乎昭示著：一切問題都是可以解決的。無論是怎樣的困難和挑戰(zhàn)，我們總能找到一種辦法或模式戰(zhàn)而勝之。

3.關(guān)于勾股定理的小故事

在中國古代大約是西漢的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話。周公問商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度?！碧斓母叨群偷孛娴囊恍y量的數(shù)字是怎么樣得到的呢？

商高說：“故折矩以為勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！?/p>

在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。商高答話的意思是：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫做“商高定理”。

擴展資料：

最早應用：

從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的，這里只舉一例。例如公元前1700年的一塊泥板（編號為BM85196）上第九題，大意為“有一根長為5米的木梁（AB）豎直靠在墻上，上端（A）下滑一米至D。問下端（C）離墻根（B）多遠？”

他們解此題就是用了勾股定理， 設(shè)AB=CD=l=5米，BC=a,AD=h=1米，則BD=l-h=5-1米=4米 ∵a=√[l2-(l-h)2]=√[52-(5-1)2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股三角形。

《周髀算經(jīng)》中勾股定理的公式與證明 《周髀算經(jīng)》算經(jīng)十書之一。約成書于公元前二世紀，原名《周髀》，它是中國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規(guī)定它為國子監(jiān)明算科的教材之一，故改名《周髀算經(jīng)》。

首先，《周髀算經(jīng)》中明確記載了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日”（《周髀算經(jīng)》上卷二） 而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經(jīng)》上卷一—— 昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”

商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！?周公對古代伏羲（包犧）構(gòu)造周天歷度的事跡感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度），就請教商高數(shù)學知識從何而來。于是商高以勾股定理的證明為例，解釋數(shù)學知識的由來。

參考鏈接：勾股定理的逆定理-百度百科勾股定理-百度百科

4.請問關(guān)于費爾馬定理的有趣故事是什么

費爾馬是一個十分活躍的業(yè)余數(shù)學家，喜歡和別人通信討論數(shù)學問題。

他差不多和同時代的數(shù)學家都通過信，受到人們的敬重。 費爾馬經(jīng)常提出一些難題，寄給熟人，請他們解答，然后再把這些解答與自己的解答對照。

他提出的猜想，有被否定掉的；但是他證明過的定理，卻從沒有被推翻過。其中，不少成了后來書上的重要定理。

費爾馬在數(shù)論上作過杰出貢獻。例如，他發(fā)現(xiàn)并證明了一個很重要的基本定理： P-1 若P為素數(shù)，正整數(shù)a不能被P整除，那么a -1這個數(shù)，一定能夠被P整除。

這個定理叫做費爾馬定理或者費爾馬小定理。1640年，當費爾馬證完這個定理后，興奮地寫信告訴他的朋友說：“我浸浴在陽光中！這個定理按其在數(shù)論和近世代數(shù)中的重要性來說，的確是值得稱道的。

6 比如我們要考察5-1這個數(shù)能不能被7整除，根據(jù)費爾馬小定理，由于 6 7-15-1=5-1，所以知道它一定能被7整除。事實也正是這樣。

6 5-1=15624=7*2232。 100 因為這個數(shù)小，所以可以寫出來判斷。

如果是問1981-1能不能被101整除，就不好算出來看了，但是根據(jù) 100 101 1981-1=1981-1-1， 所以可以保險這個數(shù)能被101整除。1621年，20歲的費爾馬，在巴黎買了一本丟番都的《算術(shù)學》的法文譯本。

不知他在什么時候，在書中關(guān)于不 2 2 2定方程x+y=z的全部正整數(shù)解的這一頁上，用拉丁文寫了這么一段話： “任何一個數(shù)的立方，不能分解為兩個數(shù)的立方之和；任何一個數(shù)的四次方，不能分解成兩個數(shù)的四次方之和；一般來說，任何次冪，除平方以外，不可能分解成其他兩個同次冪之和。我想出了這個斷語的絕妙證明，是書上這空白太窄了，不容我把證明寫出來?！?/p>

在自己的書上空白處寫心得，是一些人的讀書習慣，通常叫作“頁端筆記”。費爾馬的這段頁端筆記，用數(shù)學的語言來表達就是：形如 n n n x+y=z的方程，當n大于2時，不可能有正整數(shù)解。

費爾馬雖然在數(shù)學上有很多重大成就，但是他生前幾乎沒有出版過什么數(shù)學著作。他的著作大都是在他死后，由他的兒子，把他的手搞和與別人往來的書信整理出版的。

費爾馬死后，有人翻閱他的那本丟番都的書，發(fā)現(xiàn)了那段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子出版了費爾馬里的這一部分頁端筆記，大家才知道這一問題。

后來，人們就把這一論斷，稱為費爾馬大定理或者費爾馬問題。 哥德巴赫猜想 哥德巴赫本來是普魯士派往俄羅斯的一位公使。

后來，他成了一名數(shù)學家。 哥德巴赫和費爾馬一樣，很喜歡和別人通信討論數(shù)學問題。

不過，他在數(shù)學上的成就和聲望，遠遠不如費爾馬，有的人甚至認為他不是數(shù)學家。其實，有資料說，他是彼得堡科學院院士。

哥德巴赫與另一名彼得堡科學院院士、著名數(shù)學家歐拉經(jīng)常通信。他們有15年以上的通信歷史，經(jīng)常討論的是數(shù)學問題。

1742年6月7日，哥德巴赫寫信告訴歐拉，說他想冒險發(fā)表一個猜想： “大于5的任何數(shù)是三個素數(shù)的和?！边@里要順便交待一句，有一個時期，人們把1看成是特殊的素數(shù)；后來，才像今天這樣，把1與素數(shù)嚴格區(qū)別開來。

同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中說，他認為：“每一個偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信這個論斷是完全正確的?！?這次通信的內(nèi)容傳播出來后，當時數(shù)學界把他們兩人通信中談到的問題，叫做哥德巴赫問題。

后來，它被歸納為： 命題A：每一個大于或者等于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個奇素數(shù)的和； 命題B：每一個大于或者等于9個奇數(shù)，都可以表示為三個奇素數(shù)的和。 這就是今天我們所說的哥德巴赫猜想，實際上，應該是哥德奇巴赫——歐拉猜想。

比如 50=19+31,51=7+13+31 52=23+29,53=3+19+31 當然，表示方法可能是很多的。比如 50=3+47=7+43=13+37=19+31 很明顯，如果命題A成立，那么，命題B也就成立。

因為假設(shè)N是大于或者等于9的奇數(shù)，那么，N-3就是大于或者等于6的偶數(shù)。命題A成立，就是存在著奇素數(shù)P與P，使得N-3=P+P，這就是N=3+P+P，就像前面的 1 2 1 2 1 250與53的關(guān)系一樣。

但反過來，如果證明了命題B成立，并不能保證命題A就一定成立。 19世紀的很多大數(shù)學家，都研究過哥德巴赫猜想，但是進展不大。

1900年，希爾伯特在巴黎國際數(shù)學家會議上，提出了23個研究題目，這就是有名的希爾伯特問題，可以說這是23個大難題。哥德巴赫猜想命題A，與另外兩個有關(guān)的問題一起，被概括為希爾伯特第八問題。

到了1912年，在第五屆國際數(shù)學會議上，著名的數(shù)論大師蘭道發(fā)言說，哥德巴赫問題即使改成較弱的命題C，也是現(xiàn)代數(shù)學家所力不能及的。 命題C意思是：不管是不超過3個，還是不超過30個，只要你想證明存在著一個這樣的正數(shù)c，而能“使每一個大于或等于2的整數(shù)，都可以表示為不超過c個素數(shù)之和”。

過了9年，到了1921年，著名數(shù)論大師哈代在哥本哈根召開的國際數(shù)學會上說：哥德巴赫猜想的困難程度，可以與任何沒有解決的數(shù)學問題相比擬。哈代也認為是極其困難的，但是不像蘭道說得那樣絕對。

1930年，蘇聯(lián)25歲的數(shù)學家西涅日耳曼，用他創(chuàng)造的“正密率法”，證明了蘭道說的那個現(xiàn)代數(shù)學家力不能及的命題C，還估算了這個數(shù)c不會超過S，并算出S≤。

5.關(guān)于勾股定理的故事

勾股定理趣事

學過幾何的人都知道勾股定理.它是幾何中一個比較重要的定理，應用十分廣泛.迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有400多種.其中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學史上被傳為佳話.

總統(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學家或數(shù)學愛好者？答案是否定的.事情的經(jīng)過是這樣的；

勾股的發(fā)現(xiàn)

在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德.他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會地談?wù)撝裁?，時而大聲爭論，時而小聲探討.由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么.只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形.于是伽菲爾德便問他們在干 什么？

只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀.”小男孩又問道： “如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。

于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。

1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，

勾股的證明

人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

勾股定理同時也是數(shù)學中應用最廣泛的定理之一。例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據(jù)稱金字塔底座的四個直角就是應用這一關(guān)系來確定的.至今在建筑工地上，還在用它來放線，進行“歸方”，即放“成直角”的線。

正因為這樣，人們對這個定理的備加推崇便不足為奇了。1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成。這張郵票是紀念二千五百年前希臘的一個學派和宗教團體 —— 畢達哥拉斯學派，它的成立以及在文化上的貢獻。郵票上的圖案是對勾股定理的說明。希臘郵票上所示的證明方法，最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里。

尼加拉瓜在1971年發(fā)行了一套十枚的紀念郵票，主題是世界上“十個最重要的數(shù)學公式”，其中之一便是勾股定理。

2002年的世界數(shù)學家大會在中國北京舉行，這是21世紀數(shù)學家的第一次大聚會，這次大會的會標就選定了驗證勾股定理的“弦圖”作為中央圖案，可以說是充分表現(xiàn)了我國古代數(shù)學的成就，也充分弘揚了我國古代的數(shù)學文化，另外，我國經(jīng)過努力終于獲得了2002年數(shù)學家大會的主辦權(quán)，這也是國際數(shù)學界對我國數(shù)學發(fā)展的充分肯定。

今天，世界上幾乎沒有人不知道七巧板和七巧圖，它在國外被稱為“唐圖”（Tangram），意思是中國圖（不是唐代發(fā)明的圖）。七巧板的歷史也許應該追溯到我國先秦的古籍《周髀算經(jīng)》，其中有正方形切割術(shù)，并由之證明了勾股定理。而當時是將大正方形切割成四個同樣的三角形和一個小正方形，即弦圖，還不是七巧板?，F(xiàn)在的七巧板是經(jīng)過一段歷史演變過程的。

勾股趣事

甚至還有人提出過這樣的建議：在地球上建造一個大型裝置，以便向可能會來訪的“天外來客”表明地球上存在有智慧的生命，最適當?shù)难b置就是一個象征勾股定理的巨大圖形，可以設(shè)在撒哈拉大沙漠、蘇聯(lián)的西伯利亞或其他廣闊的荒原上，因為一切有知識的生物都必定知道這個非凡的定理，所以用它來做標志最容易被外來者所識別！？

有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知數(shù)）有正整數(shù)解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn(n為已知正整數(shù)，且n>2)都不可能有正整數(shù)解。這一定理叫做費爾馬大定理（費爾馬是17世紀法國數(shù)學家）。

6.有關(guān)勾股定理的歷史故事

兩千六百多年前，埃及有個國王，想要知道已經(jīng)蓋好了的大金字塔的確實高度，可是誰也不知道該怎樣測量。

人爬到頂上去吧，不可能。因為塔身是斜的，就是爬上去了，又用什么方法來測量呢？

后來，國王請到了一個名叫法列士的學者來設(shè)法解決這個問題。發(fā)烈士答應了，他選擇了一個風和日暖的日子，在國王，祭祀們的親自駕臨下，舉行了測塔儀式。

看熱鬧的人當然不少，人們擁擠著，議論著。看時間已經(jīng)不早，太陽光給每個在場的人和巨大的金字塔都投下了長長的影子。當發(fā)列士確知他自己的影子等于他的身高時，他發(fā)出了測塔命令：這時，助手們立即測出了金字塔陰影長度DB。接著法烈士十分準確地算出了金字塔的高度。

在那個時候，大家都非常佩服發(fā)列士的聰明！

可不是嗎？發(fā)列士的確了不起，因為他在兩千多年以前，就已經(jīng)應用幾何學里的相似形原理來測算金字塔的高度，而現(xiàn)在我們的幾何學——歐幾里德幾何，還是在發(fā)列士以后許多年，由希臘學者歐幾里德創(chuàng)立起來的呢。

7.收集十個關(guān)于坐標系 勾股定理 實數(shù)等相關(guān)數(shù)學家的典故及數(shù)學故事

我們現(xiàn)在所用的直角坐標系，通常叫做笛卡兒直角坐標系。是從笛卡兒 （Descartes R.,1596.3.31~1650.2.11）引進了直角坐標系以后，人們才得以用代數(shù)的方法研究幾何問題，才建立并完善了解析幾何學，才建立了微積分。

法國數(shù)學家拉格朗日（Lagrange J.L.,1736.1.25~1813.4.10）曾經(jīng)說過："只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是，當這兩門科學結(jié)合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力。從那以后，就以快速的步伐走向完善。"

我國數(shù)學家華羅庚（1910.11.12~1985.6.12）說過："數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微。形數(shù)結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離！"

笛卡兒的坐標系不同于一個一般的定理，也不同于一段一般的數(shù)學理論，它是一種思想方法和技藝，它使整個數(shù)學發(fā)生了嶄新的變化，它使笛卡兒成為了當之無愧的現(xiàn)代數(shù)學的創(chuàng)始人之一。

中國數(shù)學家。東漢末至三國時代人。生平不詳，約生活于公元3世紀初。字君卿，東吳人。據(jù)載，他研究過張衡的天文學著作《靈憲》和劉洪的《乾象歷》，也提到過“算術(shù)”。他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周牌算經(jīng)》，為該書寫了序言，并作了詳細注釋。其中一段530余字的“勾股圓方圖”注文是數(shù)學史上極有價值的文獻。它記述了勾股定理的理論證明，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦。”證明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。”

8.數(shù)學家發(fā)現(xiàn)定律或公式的故事

牛頓（Newton 1643-1727）牛頓是生活在地球上的影響最大的科學家之一。

他是遺腹子，生于伽利略逝世的那一天。 牛頓少年時代即表現(xiàn)出手工制作精巧機械的才能。

雖然他是個聰明伶俐的孩子，但并未引起他的老師們的注意。 成年時，母親令其退學，因為希望兒子成為一名出色的農(nóng)夫。

十分幸運的是他的主要天賦不滿足于他在農(nóng)業(yè)方面發(fā)揮，因此，他18歲時入劍僑大學，極快地通曉了當時已知的自然與數(shù)學知識，之后轉(zhuǎn)入個人的專門研究。 自21歲至27歲，奠定了某些學科理論基礎(chǔ)，導致以后世界上的一次科學革命。

他的第一個轟動科學世界的發(fā)現(xiàn)就是光的本質(zhì)。經(jīng)過—系列的嚴格試驗，牛頓發(fā)現(xiàn)普通白光是由七色光組成的。

經(jīng)過—番光學研究，制造了第一架反射天文望遠鏡；這架天文望遠鏡一直在天文臺使用到今天。 萊布尼茨曾說：“在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數(shù)學中，牛頓的工作超過了一半?！?/p>

的確，牛頓除了在天文及物理上取得偉大的成就，在數(shù)學方面，他從二項式定理到微積分，從代數(shù)和數(shù)論到古典幾何和解析幾何、有限差分、曲線分類、計算方法和逼近論，甚至在概率論等方面，都有創(chuàng)造性的成就和貢獻。 牛頓在數(shù)學上的成果要有以下四個方面： 發(fā)現(xiàn)二項式定理 在一六六五年，剛好二十二歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項式定理，這對於微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步。

二項式定理把能為直接計算所發(fā)現(xiàn)的 等簡單結(jié)果推廣如下的形式 二項式級數(shù)展開式是研究級數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學分析、方程理論的有力工具。在今天我們會發(fā)覺這個方法只適用於n是正整數(shù)，當n是正整數(shù)1,2,3，級數(shù)終止在正好是n+1項。

如果n不是正整數(shù)，級數(shù)就不會終止，這個方法就不適用了。但是我們要知道那時，萊布尼茨在一六九四年才引進函數(shù)這個詞，在微積分早期階段，研究超越函數(shù)時用它們的級來處理是所用方法中最有成效的。

創(chuàng)建微積分 牛頓在數(shù)學上最卓越的成就是創(chuàng)建微積分。他超越前人的功績在於，他將古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法--微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關(guān)系，如：面積計算可以看作求切線的逆過程。

那時萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報告，更因此引發(fā)了一埸微積分發(fā)明專利權(quán)的爭論，直到萊氏去世才停熄。而后世己認定微積是他們同時發(fā)明的。

微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻是，他不但清楚地看到，而且大贍地運用了代數(shù)所提供的大大優(yōu)越於幾何的方法論。他以代數(shù)方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數(shù)化。

從此，數(shù)學逐漸從感覺的學科轉(zhuǎn)向思維的學科。 微積產(chǎn)生的初期，由於還沒有建立起鞏固的理論基礎(chǔ)，被有受別有用心者鉆空子。

更因此而引發(fā)了著名的第二次數(shù)學危機。這個問題直到十九世紀極限理論建立，才得到解決。

引進極坐標，發(fā)展三次曲線理論 牛頓對解析幾何作出了意義深遠的貢獻，他是極坐標的創(chuàng)始人。第一個對高次平面曲線進行廣泛的研究。

牛頓證明了怎樣能夠把一般的三次方程 所代表的一切曲線通過標軸的變換化為以下四種形式之一： 在《三次曲線》一書牛頓列舉了三次曲線可能的78種形式中的72種。這些中最吸引人；最難的是：正如所有曲線能作為圓的中心射影被得到一樣；所有三次曲線都能作為曲線 的中心射影而得到。

這一定理，在1973年發(fā)現(xiàn)其證明之前，一直是個謎。 牛頓的三次曲線奠定了研究高次平面線的基礎(chǔ)，闡明了漸近線、結(jié)點、共點的重要性。

牛頓的關(guān)於三次曲線的工作激發(fā)了關(guān)於高次平面曲線的許多其他研究工作。 推進方程論，開拓變分法 牛頓在代數(shù)方面也作芔了經(jīng)典的貢獻，他的《廣義算術(shù)》大大推動了方程論。

他發(fā)現(xiàn)實多項式的虛根必定成雙出現(xiàn)，求多項式根的上界的規(guī)則，他以多項式的系數(shù)表示多項式的根n次冪之和公式，給出實多項式虛根個數(shù)的限制的笛卡兒符號規(guī)則的一個推廣。 牛頓在還設(shè)計了求數(shù)值方程的實根近似值的對數(shù)和超越方程都適用的一種方法，該方法的修正，現(xiàn)稱為牛頓方法。

牛頓在力學領(lǐng)域也有偉大的發(fā)現(xiàn)，這是說明物體運動的科學。第—運動定律是伽利略發(fā)現(xiàn)的。

這個定律闡明，如果物體處于靜止或作恒速直線運動，那么只要沒有外力作用，它就仍將保持靜止或繼續(xù)作勻速直線運動。這個定律也稱慣性定律，它描述了力的一種性質(zhì)：力可以使物體由靜止到運動和由運動到靜止，也可以使物體由一種運動形式變化為另一種形式。

此被稱為牛頓第一定律。力學中最重要的問題是物體在類似情況下如何運動。

牛頓第二定律解決了這個問題；該定律被看作是古典物理學中最重要的基本定律。牛頓第二定律定量地描述了力能使物體的運動產(chǎn)生變化。

它說明速度的時間變化率（即加速度a與力F成正比，而與物體的質(zhì)量里成反比，即a=F/m或F=ma；力越大，加速度也越大；質(zhì)量越大，加速度就越小。力與加速度都既有量值又有方向。

加速度由力引起，方向與力相同；如果有幾個力作用在物體上，就由合力產(chǎn)生加速度，第二定律是最重要的，動力的所有基本方程都可由它通過微積分推導出來。 此外，牛頓根據(jù)這兩個定律制定出第三定律。

牛頓第三定。