整式的乘法梳理(整式的乘除知識點)
1.整式的乘除知識點
單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。
代數式中的一種有理式.不含除法運算或分數，以及雖有除法運算及分數，但除式或分母中不含變數者，則稱為整式。 （含有字母有除法運算的，那么式子 叫做分式fraction.） 整式可以分為定義和運算，定義又可以分為單項式和多項式，運算又可以分為加減和乘除。
加減包括合并同類項，乘除包括基本運算、法則和公式，基本運算又可以分為冪的運算性質，法則可以分為整式、除法，公式可以分為乘法公式、零指數冪和負整數指數冪。 整式和同類項 1.單項式 （1）單項式的表示形式：1、數與字母的乘積這樣的代數式叫做單項式2、單個字母也是單項式。
3、單個的數是單項式4、字母與字母相乘成為單項式5、數與數相乘稱為單項式 （2）單項式的系數：單項式中的 數字因數及性質符號叫做單項式的系數。 如果一個單項式，只含有數字因數，是正數的單項式系數為1，是負數的單項式系數為—1。
(3)單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。 2.多項式 （1）多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式。
在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。
多項式中的符號，看作各項的性質符號。一元N次多項式最多N+1項 （2）多項式的次數：多項式中，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。
（3）多項式的排列： 1.把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列。 2.把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列。
由于多項式是幾個單項式的和，所以可以用加法的運算定律，來交換各項的位置，而保持原多項式的值不變。 為了便于多項式的計算，通?？偸前岩粋€多項式，按照一定的順序，整理成整潔簡單的形式，這就是多項式的排列。
在做多項式的排列的題時注意： （1）由于單項式的項，包括它前面的性質符號，因此在排列時，仍需把每一項的性質符號看作是這一項的一部分，一起移動。 （2）有兩個或兩個以上字母的多項式，排列時，要注意： a.先確認按照哪個字母的指數來排列。
b.確定按這個字母向里排列，還是向外排列。 （3）整式： 單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。
（4）同類項的概念： 所含字母相同，并且相同字母的次數也相同的項叫做同類項，幾個常數項也叫同類項。 掌握同類項的概念時注意： 1.判斷幾個單項式或項，是否是同類項，就要掌握兩個條件： ①所含字母相同。
②相同字母的次數也相同。 2.同類項與系數無關，與字母排列的順序也無關。
3.幾個常數項也是同類項。 （5）合并同類項： 1.合并同類項的概念： 把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。
2.合并同類項的法則： 同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。 3.合并同類項步驟： ⑴.準確的找出同類項。
⑵.逆用分配律，把同類項的系數加在一起（用小括號），字母和字母的指數不變。 ⑶.寫出合并后的結果。
在掌握合并同類項時注意： 1.如果兩個同類項的系數互為相反數，合并同類項后，結果為0. 2.不要漏掉不能合并的項。 3.只要不再有同類項，就是結果（可能是單項式，也可能是多項式）。
合并同類項的關鍵：正確判斷同類項。 整式和整式的乘法 整式可以分為定義和運算，定義又可以分為單項式和多項式，運算又可以分為加減和乘除。
加減包括合并同類項，乘除包括基本運算、法則和公式，基本運算又可以分為冪的運算性質，法則可以分為整式、除法，公式可以分為乘法公式、零指數冪和負整數指數冪。 同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變指數相加。
冪的乘方法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘。 積的乘方法則：積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
單項式與單項式相乘有以下法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。 單項式與多項式相乘有以下法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
多項式與多項式相乘有下面的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 平方差公式：兩數和與這兩數差的積等于這兩數的平方差。
完全平方公式：兩數和的平方，等于這兩數的平方和，加上這兩數積的2倍。 兩數差的平方，等于這兩數的平方和，減去這兩積的2倍。
同底數冪相除，底數不變，指數相減。 談整式學習的要點 屠新民 整式是代數式中最基本的式子，引進整式是實際的需要，也是學習后續(xù)內容（例如分式、一元二次方程等）的需要。
整式是在以前學習了有理數運算、列簡單的代數式、一元一次方程及不等式的基礎上引進的。事實上，整式的有關內容在六年級已經學習過，但現在的整式內容比過去更加強了應用，增加了實際應用的背景。
本章知識結構框圖： 本章有較多的知識點屬于重點或難點，既是重點又是難點的內容為如下三個方面。 一、整式的四則運算 1. 整式的加減 合并同類項是重點，也是難點。
合并同類項時要注意以下三點。
2.整式的乘法公式講解
(a+b)(a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 或者 （a-b） (a-b)=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 歸納 這兩個公式叫做完全平方公式，兩數和（或差）的平方，等于這兩數的平方和，加上（或減去）這兩數積的2倍。
我們通常表示為： （a±b）^2=a^2±2ab+b^2 注： 通常a,b是表示一個整體的代數式，不一定是數，例如：[（3x-y）-(2x+2y)][(3x-y)+(2x+2y)]=5x^2+6xy+y^2 [編輯本段]常見錯誤 完全平方公式中常見錯誤有：①學生難于跳出原有的定式思維，如典型錯誤； （錯因：在公式的基礎上類推，隨意“創(chuàng)造”）②混淆公式；③運算結果中符號錯誤；④變式應用難于掌握。[編輯本段]學習方法及例題 一、理解公式左右邊特征 （一）學會推導公式（這兩個公式是根據乘方的意義與多項式的乘法法則得到的），真實體會隨意“創(chuàng)造”的不正確性； （二）學會用文字概述公式的含義： 兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍. 與都叫做完全平方公式.為了區(qū)別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，后者叫做兩數差的完全平方公式. （三）這兩個公式的結構特征是： 1、左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的2倍； 2、左邊兩項符號相同時，右邊各項全用“+”號連接；左邊兩項符號相反時，右邊平方項用“+”號連接后再“-”兩項乘積的2倍（注：這里說項時未包括其符號在內）； 3、公式中的字母可以表示具體的數（正數或負數），也可以表示單項式或多項式等數學式. （四）兩個公式的統(tǒng)一： 因為 所以兩個公式實際上可以看成一個公式：兩數和的完全平方公式。
這樣可以既可以防止公式的混淆又杜絕了運算符號的出錯。 二、把握運用公式四步曲： 1、“察”：計算時，要先觀察題目特點是否符合公式的條件，若不符合，應先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算，若不能變?yōu)榉瞎綏l件的形式，則應運用相應乘法法則進行計算. 2、“導”：正確地選用完全平方公式，關鍵是確定式子中a、b分別表示什么數或式. 3、“算”：注意每步的運算依據，即各個環(huán)節(jié)的算理。
4、“驗”：完成運算后學會檢驗，既回過頭來再反思每步的計算依據和符號等各方面是否正確無誤，又可通過多項式的乘法法則進行驗算，確保萬無一失。 三、掌握運用公式常規(guī)四變 （一）、變符號： 例1：運用完全平方公式計算： （1） (2) 分析：本例改變了公式中a、b的符號，處理方法之一：把兩式分別變形為再用公式計算（反思得：）；方法二：把兩式分別變形為：后直接用公式計算；方法三：把兩式分別變形為：后直接用公式計算（此法是在把兩個公式統(tǒng)一的基礎上進行，易于理解不會混淆）； （二）、變項數： 例2：計算： 分析：完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現了三項，故應考慮將其中兩項結合運用整體思想看成一項，從而化解矛盾。
所以在運用公式時，可先變形為或或者，再進行計算. （三）、變結構 例3：運用公式計算： （1）(x+y)·（2x+2y）; (2)(a+b)·（-a-b）; (3)(a-b)·（b-a） 分析；本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結構不符合公式特征，但仔細觀察易發(fā)現，只要將其中一個因式作適當變形就可以了，即 （1）(x+y)·（2x+2y）=2(x+y)?; (2)(a+b)·（-a-b）=-(a+b)?; (3)(a-b)·（b-a）=-(a-b)？ （四）、簡便運算 例4：計算：（1）9992(2)100.12 分析：本例中的999接近1000,100.1接近100，故可化成兩個數的和或差，從而運用完全平方公式計算。即：（1）。
四、學會公式運用中三拓展 1、公式的混用 例5：計算： （l）(x+y+z)(x+y-z) (2)(2x-y+3z)(y-3z-2x) 分析：此例是三項式乘以三項式，特點是：有些項相同，另外的項互為相反數。故可考慮把相同的項和互為相反數的項分別結合構造成平方差公式計算后，再運用完全平方公式等計算。
即：（1）(x+y+z)(x+y-z)=[(x+y)+z][(x+y)-z]=… （2）(2x-y+3z)(y-3z+2x)=[2x-(y-3z)][(2x+(y-3z)]=…2、公式的變形： 熟悉完全平方公式的變形式，是相關整體代換求知值的關鍵。 例6：已知實數a、b滿足（a+b）2=10,ab=1。
求下列各式的值： （1）a2+b2;(2)(a-b)2 分析：此例是典型的整式求值問題，若按常規(guī)思維把a、b的值分別求出來，非常困難；仔細探究易把這些條件同完全平方公式結合起來，運用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑。即：（1）a2+b2=(a+b)2-2ab=… （2）(a-b)2=(a+b)2-4ab=… 3、公式的逆用： 例7：計算： 分析：本題若直接運用乘法公式和法則較繁瑣，仔細分析可發(fā)現其結構恰似完全平方公式的右邊，不妨把公式倒過來用可得：==4(a+b)(a-b)=a^2-b^2 兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差，這個公式就叫做乘法的平方差公式。
[編輯本段]說明 當乘式是兩個數之和以及這兩個數之差相乘時，積是二項式。這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合并這兩項的結果為零，于是就剩下兩項了。
而它們的積等于乘式中這兩個數的平方差，即a^-b^ =(a+b)(a-b) 兩數和於這兩數差的基，等於它們的平方差。 [逆推導。
3.整式乘法運算的幾種常用技巧
在整式的計算、化簡、求值中，若能正確、靈活地運用法則、公式，并且掌握某些運算技巧，就能使代數運算變得十分簡潔.下面歸納、總結，供同學們學習時參考. .適當變形，運用公利側考分析計算：（‘一5）(l一勃一1).. （'一制.：直接計算，要計算10個減法運算、10個乘側夕化簡：（x+即-32）(x一勿+3z).分析：兩個含有三項的多項式相乘，需相乘9次，再合并同類項，這是一項多么麻煩的計算！現在我們來觀察因式（x+即一3：）、（x一即十玉），不難發(fā)現即一3z和~2少+玉互為相反數，于是想到將x一壽+3z變形為二-（即一3z），從而便可以運用平方差公式來計算.解：原式二〔x+（即一3z）〕〔x一（即一3z）」=x2一（即一32）2 =x七（分一12yz+卯） =x Zee州+l如一922.側2計算：（2+x）(22+l)(24+1)(28+一)（2,6+1）.分析：此題若是直接計算，指數大，太繁了！從所求式子看，是5個兩數和的積，要是能出現相對應的兩數差就好了，以便運用平方差公式.由（2+l）這個因數啟發(fā)我們：將所求式子乘1，即將所求式子乘以（2一l），就會連續(xù)出現。
4.初一下 整式的乘除 的性質,要點和意義
整式和整式的乘法
整式可以分為定義和運算，定義又可以分為單項式和多項式，運算又可以分為加減和乘除。
加減包括合并同類項，乘除包括基本運算、法則和公式，基本運算又可以分為冪的運算性質，法則可以分為整式、除法，公式可以分為乘法公式、零指數冪和負整數指數冪。
同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變指數相加。
冪的乘方法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘。
積的乘方法則：積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
單項式與單項式相乘有以下法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。
單項式與多項式相乘有以下法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
多項式與多項式相乘有下面的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
平方差公式：兩數和與這兩數差的積等于這兩數的平方差。
完全平方公式：兩數和的平方，等于這兩數的平方和，加上這兩數積的2倍。 兩數差的平方，等于這兩數的平方和，減去這兩積的2倍。
同底數冪相除，底數不變，指數相減。
整式是代數式中最基本的式子，引進整式是實際的需要，也是學習后續(xù)內容（例如分式、一元二次方程等）的需要。整式是在以前學習了有理數運算、列簡單的代數式、一元一次方程及不等式的基礎上引進的。事實上，整式的有關內容在六年級已經學習過，但現在的整式內容比過去更加強了應用，增加了實際應用的背景。
本章知識結構框圖：
本章有較多的知識點屬于重點或難點，既是重點又是難點的內容為如下三個方面。
一、整式的四則運算
1. 整式的加減
合并同類項是重點，也是難點。合并同類項時要注意以下三點：①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準字母和字母指數；②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數會減少，達到化簡多項式的目的；③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母和字母的指數不變。
2. 整式的乘除
重點是整式的乘除，尤其是其中的乘法公式。乘法公式的結構特征以及公式中的字母的廣泛含義，學生不易掌握。因此，乘法公式的靈活運用是難點，添括號（或去括號）時，括號中符號的處理是另一個難點。添括號（或去括號）是對多項式的變形，要根據添括號（或去括號）的法則進行。在整式的乘除中，單項式的乘除是關鍵，這是因為，一般多項式的乘除都要“轉化”為單項式的乘除。
整式四則運算的主要題型有：
(1)單項式的四則運算
此類題目多以選擇題和應用題的形式出現，其特點是考查單項式的四則運算。
(2)單項式與多項式的運算
此類題目多以解答題的形式出現，技巧性強，其特點為考查單項式與多項式的四則運算。
二、因式分解
難點是因式分解的四種基本方法（提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法）。因式分解是整式乘法的逆向變形，因式分解的方法的引入要緊緊抓住這一點。
5.如何整理課本上十四章整式的乘法與因式分解
因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法.而在競賽上，又有拆項和添項法，分組分解法和十字相乘法，待定系數法，雙十字相乘法，輪換對稱法，剩余定理法等. 基本方法 ⑴提公因式法 各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式. 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. 具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的. ⑵公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法. 平方差公式：a2-b2=（a+b）(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2； 注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數（或式）的積的2倍. 立方和公式：a3+b3=（a+b）(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=（a-b）(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3. ⑶分組分解法 分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識. 能分組分解的方程有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
6.整式乘法運算的幾種常用技巧求解答
在整式的計算、化簡、求值中，若能正確、靈活地運用法則、公式，并且掌握某些運算技巧，就能使代數運算變得十分簡潔.下面歸納、總結，供同學們學習時參考. .適當變形，運用公利側考分析計算：（‘一5）(l一勃一1)..·（‘一制.：直接計算，要計算10個減法運算、10個乘側夕化簡：（x+即-32）(x一勿+3z).分析：兩個含有三項的多項式相乘，需相乘9次，再合并同類項，這是一項多么麻煩的計算！現在我們來觀察因式（x+即一3：）、（x一即十玉），不難發(fā)現即一3z和~2少+玉互為相反數，于是想到將x一壽+3z變形為二-（即一3z），從而便可以運用平方差公式來計算.解：原式二〔x+（即一3z）〕〔x一（即一3z）」=x2一（即一32）2 =x七（分一12yz+卯） =x Zee州+l如一922.側2計算：（2+x）(22+l)(24+1)(28+一)（2,6+1）.分析：此題若是直接計算，指數大，太繁了！從所求式子看，是5個兩數和的積，要是能出現相對應的兩數差就好了，以便運用平方差公式.由（2+l）這個因數啟發(fā)我們：將所求式子乘1，即將所求式。
7.整式的乘除與因式分解總結
一、教科書內容和課程學習目標
（一）本章知識結構框圖
（二）教科書內容
本章共包括4節(jié)
15.1 整式的乘法
整式的乘法是整式四則運算的重要組成部分。本節(jié)分為四個小節(jié)，主要內容是整式的乘法，這些內容是在學生掌握了有理數運算、整式加減運算等知識的基礎上學習的。其中，冪的運算性質，即同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎，教科書把它們依次安排在前三個小節(jié)中，教學中應適當復習冪、指數、底數等概念，特別要弄清正整數指數冪的意義。
在學生掌握了冪的運算性質后，作為它們的一個直接應用，教科書在第四小節(jié)安排一般整式乘法的教學內容。首先是單項式與單項式相乘，由于進行單項式與多項式、多項式與多項式相乘的前提是熟練地進行單項式與單項式相乘，因此，對于單項式與單項式相乘的教學應該予以充分重視。在學生掌握了單項式與單項式相乘的基礎上，教科書利用分配律等進一步引入單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘，這樣使整式乘法運算的教學從簡到繁，由易到難，層層遞進。
15.2 乘法公式
本節(jié)分為兩個小節(jié)，分別介紹平方差公式與完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在學習了一般的整式乘法知識的基礎上學習的，運用乘法公式能簡化一些特定類型的整式相乘的運算問題，教科書在本節(jié)開始首先指出了這一點。接著，在第一小節(jié)安排了平方差公式的教學，教科書首先安排了下一個“探究”欄目，安排了3個題目，讓學生通過計算，總結三個題目結果的共同點，發(fā)現其中的規(guī)律。接著，教科書推證了平方差公式，并進一步借助于幾何圖形對公式作了直觀解釋，讓學生能更好地理解此公式。最后，舉例說明運用平方差公式進行有關的計算。第二小節(jié)教科書設計了與第一小節(jié)類似的教學過程，引進了乘法的完全平方公式。
為了滿足整式運算的需要，在本小節(jié)引進了添括號法則，這也是很重要的整式運算知識。
15.3 整式的除法
整式的除法也是整式四則運算的重要組成部分。本節(jié)也分為兩個小節(jié)。同底數冪的除法是學習整式除法的基礎和關鍵，因此教科書在第一小節(jié)中首先介紹同底數冪除法的性質。對于同底數冪除法，這里只先討論所得商仍是整式的情形，對于所得商是分式的情形將在后續(xù)內容引入負整數指數冪的概念以后再討論。
能熟練地進行單項式除以單項式的除法是進行多項式除以單項式等一般的整式除法的前提。在第二小節(jié)，教科書根據乘、除互為逆運算的關系，并以分配律、同底數冪的除法為依據，由計算具體的實例得到單項式除以單項式的除法法則。同樣地，對于單項式除以單項式的除法，討論的問題也都在被除式中字母的指數大于或等于除式中字母的指數的限制條件范圍內。
對于多項式除以單項式，教科書是從計算來導出運算法則的，根據是乘除法互為逆運算以及分配律。可以看出，法則的基本點是把多項式除以單項式轉化為單項式的除法，而單項式除法是已經學習并掌握了的。
在本章中，不討論多項式除以多項式等一般性的問題。
15.4 因式分解
因式分解是解析式的一種恒等變形，因式分解不但在解方程等問題中極其重要，在數學科學其他問題和一般科學研究中也具有廣泛應用，是重要的數學基礎知識。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、待定系數法等。本教科書安排了多項式因式分解比較基本的知識和方法，它包括因式分解的有關概念，整式乘法與因式分解的區(qū)別與聯(lián)系，因式分解的兩種基本方法，即提公因式法和公式法。兩種方法分別安排在第1和第2小節(jié)。
