隨機微分方程的(怎樣快速學(xué)好“倒向隨機微分方程”)

1.怎樣快速學(xué)好“倒向隨機微分方程”

“學(xué)好”的定義是比較模糊的，首先，這里定義一個(gè)最低層次的“學(xué)好”，即知識層面的了解和基本掌握，能夠看懂核心公理的證明，能夠對基于倒向隨機微分方程理論的非線(xiàn)性期望理論框架有一定的了解，對基于倒向隨機微分方程的計算機程序能夠看懂并簡(jiǎn)單應用。

其次，不同數學(xué)水平的人所用的時(shí)間也是不同的。假設提問(wèn)的同學(xué)是中國內地一本數學(xué)系本科畢業(yè)，對測度論、常微和偏微方程、隨機過(guò)程掌握程度較好，那么達到上述最低層次其實(shí)并不十分困難。

我相信，通過(guò)類(lèi)比概率理論的相關(guān)知識，一到兩個(gè)月（集中學(xué)習）的時(shí)間，基本可以達到。當然，如果要達到較高層次的“學(xué)好”，建議你去山東大學(xué)讀彭實(shí)戈老師的研究生，畢竟權威的耳提面命最能提高你對于專(zhuān)業(yè)知識的理解。

2.隨機過(guò)程怎么學(xué)

隨機過(guò)程論與其他數學(xué)分支如位勢論、微分方程、力學(xué)及復變函數論等有密切的聯(lián)系，是在自然科學(xué)、工程科學(xué)及社會(huì )科學(xué)各領(lǐng)域研究隨機現象的重要工具。

隨機過(guò)程論目前已得到廣泛的應用，在諸如天氣預報、統計物理、天體物理、運籌決策、經(jīng)濟數學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計算機科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機過(guò)程的理論來(lái)建立數學(xué)模型。 一般來(lái)說(shuō)，把一組隨機變量定義為隨機過(guò)程。

在研究隨機過(guò)程時(shí)人們透過(guò)表面的偶然性描述出必然的內在規律并以概率的形式來(lái)描述這些規律，從偶然中悟出必然正是這一學(xué)科的魅力所在。 隨機過(guò)程整個(gè)學(xué)科的理論基礎是由柯?tīng)柲缏宸蚝投挪嫉於ǖ摹?/p>

這一學(xué)科最早源于對物理學(xué)的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統計力學(xué)的研究，及后來(lái)愛(ài)因斯坦、維納、萊維等人對布朗運動(dòng)的開(kāi)創(chuàng )性工作。1907年前后，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機變量，后人稱(chēng)之為馬爾可夫鏈。

1923年維納給出布朗運動(dòng)的數學(xué)定義，直到今日這一過(guò)程仍是重要的研究課題。隨機過(guò)程一般理論的研究通常認為開(kāi)始于20世紀30年代。

1931年，柯?tīng)柲缏宸虬l(fā)表了《概率論的解析方法》，1934年A·辛飲發(fā)表了《平穩過(guò)程的相關(guān)理論》，這兩篇著(zhù)作奠定了馬爾可夫過(guò)程與平穩過(guò)程的理論基礎。1953年，杜布出版了名著(zhù)《隨機過(guò)程論》，系統且嚴格地敘述了隨機過(guò)程基本理論。

研究隨機過(guò)程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時(shí)和隨機微分方程等；另一類(lèi)是分析的方法，其中用到測度論、微分方程、半群理論、函數堆和希爾伯特空間等。實(shí)際研究中常常兩種方法并用。

另外組合方法和代數方法在某些特殊隨機過(guò)程的研究中也有一定作用。研究的主要內容有：多指標隨機過(guò)程、無(wú)窮質(zhì)點(diǎn)與馬爾可夫過(guò)程、概率與位勢及各種特殊過(guò)程的專(zhuān)題討論等。

中國學(xué)者在平穩過(guò)程、馬爾科夫過(guò)程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面做出了較好的工作。 一個(gè)實(shí)際的隨機過(guò)程是任意一個(gè)受概率支配的過(guò)程，例子有：①看做是受孟德?tīng)栠z傳學(xué)支配的群體的發(fā)展；②受分子碰撞影響的微觀(guān)質(zhì)點(diǎn)的布朗運動(dòng)，或者是宏觀(guān)空間的星體運動(dòng)；③賭場(chǎng)中一系列的賭博；④公路一指定點(diǎn)汽車(chē)的通行。

在每一種情形，一個(gè)隨機系統在演化，這就是說(shuō)它的狀態(tài)隨著(zhù)時(shí)間而改變，于是，在時(shí)間t的狀態(tài)具有偶然性，它是一個(gè)隨機變量x(t)，參數t的集通常是一個(gè)區間（連續參數的隨機過(guò)程）或一個(gè)整數集合（離散參數的隨機過(guò)程）。然而，有些作者只把隨機過(guò)程這個(gè)術(shù)語(yǔ)用于連續參數的情形。

如果系統的狀態(tài)用一個(gè)數來(lái)表示，x(t)就是數值的，在其他情形，x(t)可以是向量值或者更為復雜。在本條的討論中，通常限于數值的情形。

當狀態(tài)變化時(shí)，它的值確定一個(gè)時(shí)間的函數——樣本函數，支配過(guò)程的概率規律確定賦予樣本函數的各種可能性質(zhì)的概率。 數學(xué)上的隨機過(guò)程是由實(shí)際隨機過(guò)程概念引起的一種數學(xué)結構。

人們研究這種過(guò)程，是因為它是實(shí)際隨機過(guò)程的數學(xué)模型，或者是因為它的內在數學(xué)意義以及它在概率論領(lǐng)域之外的應用。數學(xué)上的隨機過(guò)程可以簡(jiǎn)單的定義為一組隨機變量，即指定一參數集，對于其中每一參數點(diǎn)t指定一個(gè)隨機變量x(t)。

如果回憶起隨機變量自身就是一個(gè)函數，以ω表示隨機變量x(t)的定義域中的一點(diǎn)，并以x(t，ω)表示隨機變量在ω的值，則隨機過(guò)程就由剛才定義的點(diǎn)偶（t，ω）的函數以及概率的分配完全確定。如果固定t，這個(gè)二元函數就定義一個(gè)ω的函數，即以x(t)表示的隨機變量。

如果固定ω，這個(gè)二元函數就定義一個(gè)t的函數，這是過(guò)程的樣本函數。概率 一個(gè)隨機過(guò)程的概率分配通常是由指定它的隨機變量的聯(lián)合分布來(lái)給定的，這些聯(lián)合分布以及 由它們誘導出來(lái)的概率可以解釋為樣本函數的性質(zhì)的概率。

例如，如果to是一個(gè)參數值，樣本函數在to取正值的概率是隨機變量x(to)有正值的概率。在這個(gè)水平上的基本定理：任意指定的自身相容的聯(lián)合概率分布對應一隨機過(guò)程。

隨機過(guò)程的概念很廣泛，因而隨機過(guò)程的研究幾乎包括概率論的全部。雖然不能給出一個(gè)有用而又狹窄的定義，但是概率論工作者在使用隨機過(guò)程這個(gè)術(shù)語(yǔ)時(shí)，通常（除非他的興趣在于一般理論的數學(xué)基礎）想到的是其隨機變量具有某種有意義的相互關(guān)系的隨機過(guò)程，例如，獨立性就是這樣一種關(guān)系。

在提出隨機過(guò)程這個(gè)術(shù)語(yǔ)之前，獨立變量序列就是研究了很長(cháng)時(shí)間的一類(lèi)隨機過(guò)程。由于歷史上的原因，一般不把這樣的序列看做是隨機過(guò)程（雖然后面將要討論它的連續參數的類(lèi)似物——具有獨立增量的過(guò)程，它被看做是隨機過(guò)程）。

本條的余下部分是對某些特殊的隨機過(guò)程類(lèi)作一般的論述，由于這些過(guò)程類(lèi)在數學(xué)上和非數學(xué)上的應用中十分重要，所以它們已引起了人們的極大注意。 平穩過(guò)程 這類(lèi)隨機過(guò)程中的任意有限多外隨機變量的聯(lián)合分布不受參數平移的影響，即x(t1+h)，…，x(tn+h)的分布與h無(wú)關(guān)。

微分方程 在當今高等教育知識體系中，隨機過(guò)程方面的基礎知識主要在《應用隨機過(guò)程》和《隨機過(guò)程論》兩門(mén)課程中介紹，前者是本科階段課程，通常在大三開(kāi)設，簡(jiǎn)單介紹離散時(shí)間Markov鏈、連續時(shí)間Markov鏈、Brown運動(dòng)等；。