矩形菱形正方形導(dǎo)航(矩形,菱形,正方形,平形四邊形,三角形的定義與判定?)
1.矩形,菱形,正方形,平形四邊形,三角形的定義與判定?
矩形定義有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角性質(zhì)1.矩形的兩個(gè)角都是直角 2.矩形的對(duì)角線相等3.矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其兩對(duì)角線端點(diǎn)的距離的平方和相等 4.矩形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是任何一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線），它有兩條對(duì)稱軸。
5.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)判定（數(shù)學(xué)表達(dá)式） 一（通過(guò)平行四邊形） ①在平行四邊形ABCD中： ∠BAD=90du BD=AC ∴平行四邊形ABCD為矩形。 ∴平行四邊形ABCD為矩形。
二（通過(guò)四邊形） ②在四邊形ABCD中： ∠ABC=∠BCD=∠CDA=90o ∴四邊形ABCD為矩形。 說(shuō)明： （l）所給四邊形添加的條件不滿足三個(gè)的肯定不是矩形； （2）所給四邊形添加的條件是三個(gè)獨(dú)立條件，但若與定理不同，則需要利用定義和判定定理證明或舉反例，才能下結(jié)論.面積S=ah（注：a為邊長(zhǎng)，h為該邊上的高） S=ab（注：a為長(zhǎng)，b為寬） 菱形定義在一個(gè)平面內(nèi)，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.性質(zhì)1、對(duì)角線互相垂直且平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角； 2、四條邊都相等； 3、對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)； 4、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角， 5、菱形既是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩條對(duì)角線所在直線，也是中心對(duì)稱圖形， 6、在60°的菱形中，短對(duì)角線等于邊長(zhǎng)，長(zhǎng)對(duì)角線是短對(duì)角線的√3倍。
7、菱形具備平行四邊形的一切性質(zhì)。判定1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 2、四邊相等的四邊形是菱形 3、關(guān)于兩條對(duì)角線都成軸對(duì)稱的四邊形是菱形 4、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形. 依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形。
不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形。菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形（對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為矩形 ，對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為菱形。）
菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法。面積1.對(duì)角線乘積的一半（只要是對(duì)角線互相垂直的四邊形都可用）； 2.底乘高=菱形面積。
正方形 定義在同一平面內(nèi)，四條邊都相等且一個(gè)角是直角的四邊形是正方形。 you一組鄰邊相等的矩形是正方形。
有一組鄰邊相等且垂直的平行四邊形是正方形。 有一個(gè)角為直角的菱形是正方形。
四邊形對(duì)角線相等且互相垂直平分性質(zhì)1、邊：兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等；相鄰邊互相垂直 2、內(nèi)角：四個(gè)角都是90°； 3、對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角； 4、對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形（有四條對(duì)稱軸）。 5、形狀：正方形也屬于長(zhǎng)方形的一種。
判定1：對(duì)角線相等的菱形是正方形。 2：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 3：對(duì)角線互相垂直，平分且相等的四邊形是正方形。
4：一組鄰邊相等，有三個(gè)角是直角的四邊形是正方形。 5：一組鄰邊相等的矩形是正方形。
6：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。 7：四邊均相等，對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。
8：有一個(gè)角為直角的菱形是正方形。 9：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。
面積S=a*a 或：S=對(duì)角線*對(duì)角線÷2 平行四邊形定義在同一平面內(nèi)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形性質(zhì)（1）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等。 （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”） （2）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行。
（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)邊平行”） （3）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等。 （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)邊相等”） （4）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等。
（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)角相等”） （5）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分。 （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”） （6）平行四邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，旋轉(zhuǎn)中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。
（7）一般的平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，菱形是軸對(duì)稱圖形。（8）連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。
（9）平行四邊形的對(duì)角相等，兩鄰角互補(bǔ)。 （10）過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。
（11）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)。 判定（1）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
（2）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 （3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
（4）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 （5）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。
（不可直接證明為平行四邊形）面積（1）平行四邊形的面積公式：底*高（推導(dǎo)方法如圖）；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四邊形面積， 則S平行四邊=ah (2)平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以?shī)A角的正弦值；如用“a”“b”表示兩組鄰邊長(zhǎng)，@表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊。
2.三角形,正三角形,四邊形,正方形,菱形,矩形,平行四邊形
三角形，正三角形中點(diǎn)圍成的圖形與其本身相似。
四邊形，正方形，菱形，矩形，平行四邊形
其邊中點(diǎn)連線圍成的是平行四邊形。證明方法：連接四邊形對(duì)角線，用三角形中位線平行于第三邊即可。
正方形，菱形其邊中點(diǎn)連線圍成的是正方形。因正方形，菱形對(duì)角線垂直，所以，新連成的四邊形相鄰兩邊垂直，為正方形。
矩形其邊中點(diǎn)連線圍成的是菱形。因矩形對(duì)角線相等，所以新連成的四邊形四個(gè)邊相等為菱形。
3.初2菱形,矩形
一、平行四邊形
定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形
性質(zhì)：
平行四邊形的對(duì)邊相等
平行四邊形的對(duì)角相等
平行四邊形的對(duì)角線互相平分.
判定：
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形的
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
二、矩形：
定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
1.矩形的性質(zhì)
(1)具有平行四邊形的所有性質(zhì).
(2) 特有性質(zhì)：四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等.矩形是軸對(duì)稱圖形.
2. 矩形的判定
(1) 定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
(2)定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
(3)定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.
三、菱形
1. 定義：
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2.菱形的性質(zhì)
(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì).
(2)菱形的四條邊都相等.
(3)菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
(4)菱形是軸對(duì)稱圖形.
(5)菱形面積=底*高=對(duì)角線乘積的一半.
3.菱形的判定
(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形.
(3)定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
四、正方形
1. 定義：
正方形的定義我們可以分成兩部分來(lái)理解：
(1) 有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形.
(2) 有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.
2.正方形性質(zhì)
正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).
(1)邊——四邊相等，鄰邊垂直.
(2)角——四角都是直角.
(3)對(duì)角線——①相等②互相垂直平分③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
(4)是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸.
3、正方形的判定方法：
(1)判定一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)定義，途徑有兩條：
①先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直.
②先證它是菱形，再證它有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等.
五、正方形與矩形、菱形、平行四邊形的關(guān)系：
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，其中正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關(guān)系如圖.
六、中點(diǎn)四邊形與原四邊形的關(guān)系：
依次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；
依次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；
依次連接對(duì)角線相等且垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是正方形；
七、等腰梯形
1、等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形兩腰相等；等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等；等腰梯形對(duì)角線相等。
2、等腰梯形判定：
兩腰相等的梯形是等腰梯形； 同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。
