圓(圓的知識點)

1.圓的知識點

一、圓及圓的相關量的定義（28個） 1.平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

定點稱為圓心，定長稱為半徑。 2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。

經過圓心的弦叫做直徑。 3.頂點在圓心上的角叫做圓心角。

頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。 4.過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。

和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。 5.直線與圓有3種位置關系：無公共點為相離；有2個公共點為相交；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。

6.兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有2個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

7.在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。

這個扇形的半徑成為圓錐的母線。 二、有關圓的字母表示方法（7個） 圓--⊙ 半徑—r 弧--⌒ 直徑—d 扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S 三、有關圓的基本性質與定理（27個） 1.點P與圓O的位置關系（設P是一點，則PO是點到圓心的距離）： P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O內，PO 2.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。

圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。 3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。 4.在同圓或等圓中，如果2個圓心角，2個圓周角，2條弧，2條弦中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。

5.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 6.直徑所對的圓周角是直角。

90度的圓周角所對的弦是直徑。 7.不在同一直線上的3個點確定一個圓。

8.一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形3個頂點距離相等；內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形3邊距離相等。

9.直線AB與圓O的位置關系（設OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）： AB與⊙O相離，PO>r;AB與⊙O相切，PO=r;AB與⊙O相交，PO 10.圓的切線垂直于過切點的直徑；經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個圓的切線。 11.圓與圓的位置關系（設兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P）： 外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r 四、有關圓的計算公式 1.圓的周長C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr2 3.扇形弧長l=nπr/180 4.扇形面積S=nπr2/360=rl/2 5.圓錐側面積S=πrl 五 圓的方程 1.圓的標準方程 在平面直角坐標系中，以點O(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是 （x-a）^2+(y-b)^2=r^2 2.圓的一般方程 把圓的標準方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和標準方程對比，其實D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2 相關知識：圓的離心率e=0.在圓上任意一點的曲率半徑都是r. 六 圓與直線的位置關系判斷 平面內，直線Ax+By+C=O與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般方法是 討論如下2種情況： （1）由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B，[其中B不等于0]， 代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關于x的一元二次方程f(x)=0. 利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關系如下： 如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交 如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切 如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離 （2）如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A.它平行于y軸（或垂直于x軸） 將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+(y-b)^2=r^2 令y=b，求出此時的兩個x值x1,x2，并且我們規(guī)定x1<x2 當x=-C/Ax2時，直線與圓相離 當x1<x=-C/A<x2時，直線與圓相交 當x=-C/A=x1或x=-C/A=x2時，直線與圓相切。

2.高一必修二圓的基本知識

【圓的解析幾何性質和定理】

〖圓的解析幾何方程〗

圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是（x-a）^2+(y-b)^2=r^2。

圓的一般方程：把圓的標準方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0（其中D^2+E^2-4F>0）。其中和標準方程對比，其實D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2。該圓圓心坐標為（-D/2,-E/2），半徑r=0.5√D^2+E^2-4F。

圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

進過圓 x^2+y^2=r^2上一點M(a0,b0)的切線方程為 a0*x+b0*y=r^2

〖圓與直線的位置關系判斷〗

平面內，直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關于x的一元二次方程f(x)=0。利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關系如下：

如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交。

如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切。

如果b^2-4ac2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y軸（或垂直于x軸），將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+(y-b)^2=r^2。令y=b，求出此時的兩個x值x1、x2，并且規(guī)定x1當x=-C/Ax2時，直線與圓相離；

當x1半徑r，直徑d

在直角坐標系中，圓的解析式為：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=>(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F

=>圓心坐標為（-D/2,-E/2）

其實只要保證X方Y方前系數都是1

就可以直接判斷出圓心坐標為（-D/2,-E/2）

這可以作為一個結論運用的

且r=根號（圓心坐標的平方和-F）

[編輯本段]圓知識點總結

平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

圓心：圓中心固定的一點叫做圓心。用字母o或⊙表示

直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無數條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d

圓的半徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。

圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。

圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

圓的周長除以直徑的商是一個固定的數，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)小數，用字母π表示。計算時，通常取它的近似值，π≈3.14。

直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。

3.關于圓的知識

圓的有關性質

一，〖知識點〗圓、圓的對稱性、點和圓的位置關系、不在同一直線上的三點確定一個圓、三角形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系、圓周角定理、圓內接四邊形的性質

〖大綱要求〗

1. 正確理解和應用圓的點集定義，掌握點和圓的位置關系；

2. 熟練地掌握確定一個圓的條件，即圓心、半徑；直徑；不在同一直線上三點。一個

圓的圓心只確定圓的位置，而半徑也只能確定圓的大小，兩個條件確定一條直線，三個條件確定一個圓，過三角形的三個頂點的圓存在并且唯一；

3. 熟練地掌握和靈活應用圓的有關性質：同（等）圓中半徑相等、直徑相等直徑是半

徑的2倍；直徑是最大的弦；圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一條直線都是對稱軸；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；圓具有旋轉不變性；垂徑定理及其推論；圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關系；

4. 掌握和圓有關的角：圓心角、圓周角的定義及其度量；圓心角等于同（等）弧上的

圓周角的2倍；同（等）弧上的圓周角相等；直徑（半圓）上的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

5. 掌握圓內接四邊形的性質定理：它溝通了圓內外圖形的關系，并能應用它解決有關

問題；

6. 注意：（1）垂徑定理及其推論是指：一條弦①在“過圓心”②“垂直于另一條弦”

③“平分這另一條弦”④“平分這另一條弦所對的劣弧”⑤“ 平分這另一條弦所對的優(yōu)弧”的五個條件中任意具有兩個條件，則必具有另外三個結論（當①③為條件時要對另一條弦增加它不是直徑的限制），條理性的記憶，不但簡化了對它實際代表的10條定理的記憶且便于解題時的靈活應用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關系等的重要依據；（2）有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形；見到直徑要想到它所對的圓周角是直角，想垂徑定理；想到過它的端點若有切線，則與它垂直，反之，若有垂線則是切線，想到它被圓心所平分；（3）見到四個點在圓上想到有4組相等的同弧所對的圓周角，要想到應用圓內接四邊形的性質。

〖考查重點與常見題型〗

1. 判斷基本概念、基本定理等的正誤，在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學

生對基本概念和基本定理的正確理解，如：下列語句中，正確的有（ ）

(A)相等的圓心角所對的弧相等 （B）平分弦的直徑垂直于弦

(C)長度相等的兩條弧是等弧 （D）弦過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸

2. 論證線段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線段的倍分等。此種結論的證明重

點考查了全等三角形和相似三角形判定，垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的性質及切線的性質，弦切角等有關圓的基礎知識，常以解答題形式出現。

二，〖知識點〗

相交弦定理、切割線定理及其推論

〖大綱要求〗

1. 正誤相交弦定理、切割線定理及其推論；

2. 了解圓冪定理的內在聯(lián)系；

3. 熟練地應用定理解決有關問題；

4. 注意（1）相交弦定理、切割線定理及其推論統(tǒng)稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似

三角形結合的產物。這幾個定理可統(tǒng)一記憶成一個定理：過圓內或圓外一點作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點分（內分或外分）成兩線段長的積相等（至于切線可看作是兩條交點重合的割線）。使用時注意每條線段的兩個端點一個是公共點，另一個是與圓的交點；

(2)見圓中有兩條相交想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理；若有兩條切線相交則想到切線長定理，并熟悉此時圖形中存在著一個以交點和圓心連線為對稱軸的對稱圖形。

〖考查重點與常見題型〗

證明等積式、等比式及混合等式等。此種結論的證明重點考查了相似三角形，切割線定

理及其推論，相交弦定理及圓的一些知識。常見題型以中檔解答題為主，也有一些出現在選擇題或填空題中。

4.圓的知識

一、圓及圓的相關量的定義（28個） 1.平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

定點稱為圓心，定長稱為半徑。 2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。

經過圓心的弦叫做直徑。 3.頂點在圓心上的角叫做圓心角。

頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。 4.過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。

和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。 5.直線與圓有3種位置關系：無公共點為相離；有2個公共點為相交；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。

6.兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有2個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

7.在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。

這個扇形的半徑成為圓錐的母線。 二、有關圓的字母表示方法（7個） 圓--⊙ 半徑—r 弧--⌒ 直徑—d 扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S 三、有關圓的基本性質與定理（27個） 1.點P與圓O的位置關系（設P是一點，則PO是點到圓心的距離）： P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O內，PO 2.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。

圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。 3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。 4.在同圓或等圓中，如果2個圓心角，2個圓周角，2條弧，2條弦中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。

5.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 6.直徑所對的圓周角是直角。

90度的圓周角所對的弦是直徑。 7.不在同一直線上的3個點確定一個圓。

8.一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形3個頂點距離相等；內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形3邊距離相等。

9.直線AB與圓O的位置關系（設OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）： AB與⊙O相離，PO>r;AB與⊙O相切，PO=r;AB與⊙O相交，PO 10.圓的切線垂直于過切點的直徑；經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個圓的切線。 11.圓與圓的位置關系（設兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P）： 外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r 四、有關圓的計算公式 1.圓的周長C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr2 3.扇形弧長l=nπr/180 4.扇形面積S=nπr2/360=rl/2 5.圓錐側面積S=πrl 五 圓的方程 1.圓的標準方程 在平面直角坐標系中，以點O(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是 （x-a）^2+(y-b)^2=r^2 2.圓的一般方程 把圓的標準方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和標準方程對比，其實D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2 相關知識：圓的離心率e=0.在圓上任意一點的曲率半徑都是r. 六 圓與直線的位置關系判斷 平面內，直線Ax+By+C=O與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般方法是 討論如下2種情況： （1）由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B，[其中B不等于0]， 代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關于x的一元二次方程f(x)=0. 利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關系如下： 如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交 如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切 如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離 （2）如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A.它平行于y軸（或垂直于x軸） 將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+(y-b)^2=r^2 令y=b，求出此時的兩個x值x1,x2，并且我們規(guī)定x1<x2 當x=-C/Ax2時，直線與圓相離 當x1<x=-C/A<x2時，直線與圓相交 當x=-C/A=x1或x=-C/A=x2時，直線與圓相切。

5.關于圓的知識

圓 【漢字中的“圓”】 【繁體】圓 【解釋】 ①圓周率所圍成的平面：~桌∣~柱∣~筒； ②圓周的簡稱； ③像球的形狀：滾~∣滴溜~； ④圓滿；周全：這話說的不~∣這人做事很~，各方面都能照顧到； ⑤使圓滿；使周全：~場∣~謊∣自~其說； ⑥圓形的貨幣：銀~∣銅~； ⑧姓氏。

【組詞】 〖圓場〗為打開僵局而從中解說或提出折衷辦法：這事最好由你出面說幾句話圓圓場。 〖圓成〗成全：完成好事。

〖圓雕〗雕塑的一種，用石頭、金屬、木頭等雕出立體形象。 〖圓房〗舊指童養(yǎng)媳和未婚夫開始過夫婦生活。

〖圓墳〗舊俗在死人埋葬三天后去墳上培土。 〖圓規(guī)〗兩腳規(guī)的一種，一腳是尖針，另一腳可以裝上鉛筆芯或鴨嘴筆頭，是畫圓和弧的用具。

〖圓滑〗形容人只顧各方面敷衍討好，不負責任。 〖圓謊〗彌補謊話中的漏洞：他想圓謊，可越說漏洞越多。

〖圓渾〗①（聲音）婉轉而圓潤自然：語調圓渾∣這段唱腔流暢而圓渾；②（詩文）意味濃厚，沒有雕琢的痕跡。 〖圓寂〗佛教用語，稱僧尼死亡。

〖圓滿〗沒有欠缺、漏洞，使人滿意：圓滿的答案∣兩國會談圓滿結束。 〖圓夢〗解說夢的吉兇（迷信）。

另：美夢成真（愿望）。 〖圓全〗圓滿；周全：想的圓全∣事情辦的圓全。

〖圓潤〗①飽滿而潤澤：圓潤的歌喉；②（書、畫技法）圓熟流利：他的書法圓潤有力。 〖圓實〗圓而結實：西瓜長的挺圓實∣蓮子飽滿圓實。

〖圓熟〗①熟練；純熟：筆體圓熟∣演技日臻圓熟。②精明練達；靈活變通：處事極圓熟。

〖圓通〗（為人、做事）靈活變通，不固執(zhí)己見。 〖圓舞曲〗一種每節(jié)三拍的民間舞曲，起源于奧地利，后來流行很廣。

〖圓珠筆〗用油墨書寫的一種筆，筆芯里裝有油墨，筆尖是個小鋼珠，油墨由鋼珠四周漏下。 〖圓桌〗桌面是圓形的桌子。

〖圓子〗①糯米粉等做成的一種食品，大多有餡。②〈方〉丸子。

【自圓其說】多指掩飾矛盾 【圓的基本知識】 圓 定義 圓的定義有2 其一：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫圓。 其二：平面上一條線段，繞它的一端旋轉360°，留下的軌跡叫圓。

概括 把一個圓按一條直線對折過去，并且完全重合，展開再換個方向對折，折出后，這些折痕相交的一個點，叫做圓心，用字母O表示。連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，用字母r表示。

通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，用字母d表示。圓心定圓的位置，半徑和直徑定圓的大小。

在同一個圓或等圓中，半徑都相等，直徑也都相等，直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1/2。 用字母表示是：d=2r或r=d/2 圓的相關量 圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)的小數通常用π表示，π=3.1415926535。

在實際應用中我們只取它的近似值，即π≈3.14（在奧數中一般π只取3、3.1416或3.14159） 圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。 圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。

頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。 內心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。

和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。 扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。

【圓和圓的相關量字母表示方法】 圓—⊙ 半徑—r或R（在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母） 弧—⌒ 直徑—d 扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S 【圓和其他圖形的位置關系】 圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O內，PO 直線與圓有3種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交，這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓O為例（設OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO>r;AB與⊙O相切，PO=r;AB與⊙O相交，PO 兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有兩個公共點的叫相交。

兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r 【圓的平面幾何性質和定理】 一有關圓的基本性質與定理 ⑴圓的確定：畫一條線段，以線段長為半徑以一端點為圓心畫弧繞360度后得到圓。

圓的對稱性質：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。 。