含絕對(duì)值的不等式解法

人教A版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（選修4-5）《不等式選講》是根據(jù)教育部制訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn))的選修4系列第5專題“不等式選講”的要求編寫(xiě)的。
根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
一、內(nèi)容與要求
1．回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。
2．理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：
（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；
（3）會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：
∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。
3．認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。
（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。
（2）證明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。
（3）證明：
≥ 。
4．用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：

5．用向量遞歸方法討論排序不等式。
6．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
7．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n為正整數(shù)）。
了解當(dāng)n為實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立。
8．會(huì)用上述不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。
9．通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。
二、內(nèi)容安排
本專題內(nèi)容分成四講，結(jié)構(gòu)如下圖所示：

本專題的內(nèi)容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學(xué)會(huì)了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)高中必修課五個(gè)模塊的基礎(chǔ)上展開(kāi)的．作為一個(gè)選修專題，教科書(shū)在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對(duì)的完整性．
第一講是“不等式和絕對(duì)值不等式”，它是本專題的最基本內(nèi)容，也是其余三講的基礎(chǔ)．
本講的第一部分類比等式的基本性質(zhì)，從“數(shù)與運(yùn)算”的基本思想出發(fā)討論不等式的基本性質(zhì)，這是關(guān)于不等式在運(yùn)算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個(gè)幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式．對(duì)于一般形式的均值不等式，則只作簡(jiǎn)單介紹，不給出證明．在此基礎(chǔ)上，介紹了它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題中的一些應(yīng)用，如最基本的等周問(wèn)題，簡(jiǎn)單的極值問(wèn)題等。
第二部分討論了有關(guān)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及絕對(duì)值不等式的解法．絕對(duì)值是與實(shí)數(shù)有關(guān)的一個(gè)基本而重要的概念，討論關(guān)于絕對(duì)值的不等式具有重要的意義．
絕對(duì)值三角不等式是一個(gè)基本的結(jié)論，教科書(shū)首先引導(dǎo)學(xué)生借助于實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示和絕對(duì)值的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的運(yùn)算角度探究歸納出絕對(duì)值三角不等式，接著聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到絕對(duì)值三角不等式的幾何解釋，最后用代數(shù)方法給出證明．這樣，數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)這個(gè)不等式，逐步深化對(duì)它的理解．利用絕對(duì)值三角不等式可以解決形如 的函數(shù)的極值問(wèn)題，教科書(shū)安排了一個(gè)這樣的實(shí)際問(wèn)題。
對(duì)于解含有絕對(duì)值的不等式，教科書(shū)只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統(tǒng)地對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究。教科書(shū)引導(dǎo)學(xué)生探討了形如 或 的不等式的解法，以及形如 或 的不等式的解法．學(xué)生通過(guò)這兩類含有絕對(duì)值的不等式能夠基本學(xué)到解含有絕對(duì)值的不等式的一般思想和方法。

第二講是“證明不等式的基本方法”．對(duì)于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內(nèi)容也是本專題的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容。本講通過(guò)一些比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法．
比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據(jù)是：

另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉(zhuǎn)化為比較所得商式與1的大小關(guān)系，它的依據(jù)是：當(dāng)b＞0時(shí)，

在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。
在證明不等式的過(guò)程中，根據(jù)對(duì)于不等式的條件和結(jié)論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時(shí)，可以從已知條件出發(fā)逐步推出結(jié)論的方法是綜合法；尋找結(jié)論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．
證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結(jié)論的反面出發(fā)，即假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，得出矛盾結(jié)果，從而說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，而要證的原不等式結(jié)論成立．
在證明不等式的過(guò)程中，有時(shí)通過(guò)對(duì)不等式的某些部分作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明的目的，這就是所謂的放縮法．
教科書(shū)對(duì)以上方法都結(jié)合實(shí)例加以介紹。本講內(nèi)容對(duì)進(jìn)一步討論不等式提供了思想方法的基礎(chǔ)．
本講的教學(xué)內(nèi)容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。

第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個(gè)基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用．教科書(shū)首先介紹二維形式的柯西不等式，再?gòu)南蛄康慕嵌葋?lái)認(rèn)識(shí)柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用。
在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書(shū)引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書(shū)安排了一個(gè)探究欄目，讓學(xué)生通過(guò)探究得出一般形式的三角不等式。
排序不等式也是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式 ．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡(jiǎn)捷的證明。教科書(shū)在討論排序不等式時(shí)，展示了一個(gè)“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的研究過(guò)程，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用。
柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正式引入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。

第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”．本講介紹了數(shù)學(xué)歸納法及其在證明不等式中的應(yīng)用．對(duì)于某些不等式，必須借助于數(shù)學(xué)歸納法證明，所以在不等式選講的專題中安排這個(gè)內(nèi)容是很有必要的。教科書(shū)首先結(jié)合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無(wú)限多個(gè)對(duì)象的方法的問(wèn)題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的方法，并分析了數(shù)學(xué)歸納法的基本結(jié)構(gòu)和用它證明命題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題（兩個(gè)步驟缺一不可）．接著舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的應(yīng)用，特別地，證明了貝努利不等式。