轉(zhuǎn)化就是化歸:化歸不僅是一種重要的解題思想,也是一種最基本的思維策略,更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。所謂的化歸思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題;將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題??傊瘹w在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在,化歸的基本功能是:生疏化成熟悉,復(fù)雜化成簡單,抽象化成直觀,含糊化成明朗。說到底,化歸的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點,以及事物之間相互聯(lián)系,相互制約的觀點看待問題,善于對所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化,使問題得以解決。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有:待定系數(shù)法,配方法,整體代入法以及化動為靜,由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。
特殊與一般的思想和其它方法對比解析
1.什么是特殊化思想
對于某個一般性的數(shù)學(xué)問題,如果一時難以解決,那么可以先解決它的特殊情況,即從研究對象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繉儆谶@個全體中的一個對象或部分對象,然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)論應(yīng)用或者推廣到一般問題上,從而獲得一般性問題的解答,這種用來指導(dǎo)解決問題的思想稱之為特殊化思想.
2.什么是一般化思想
當(dāng)我們遇到某些特殊問題很難解決時,不妨適當(dāng)放寬條件,把待處理的特殊問題放在一個更為廣泛、更為一般的問題中加以研究,先解決一般情形,再把解決一般情形的方法或結(jié)果應(yīng)用到特殊問題上,最后獲得特殊問題的解決,這種用來指導(dǎo)解決問題的思想稱之為一般化思想。
數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有:用字母表示數(shù)的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,轉(zhuǎn)化思想 (化歸思想),分類思想,類比思想,函數(shù)的思想,方程的思想,無逼近思想等等。
1.用字母表示數(shù)的思想:這是基本的數(shù)學(xué)思想之一 .在代數(shù)第一冊第二章“代數(shù)初步知識”中,主要體現(xiàn)了這種思想。
2.數(shù)形結(jié)合:是數(shù)學(xué)中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想?!皵?shù)缺形時少直觀,形無數(shù)時難入微”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言,是對數(shù)形結(jié)合的作用進(jìn)行了高度的概括。
3.轉(zhuǎn)化思想:在整個初中數(shù)學(xué)中,轉(zhuǎn)化(化歸)思想一直貫穿其中。轉(zhuǎn)化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易于解決的問題來解決,如化繁為簡、化難為易,化未知為已知,化高次為低次等,它是解決問題的一種最基本的思想,它是數(shù)學(xué)基本思想方法之一。
4.分類思想:有理數(shù)的分類、整式的分類、實數(shù)的分類、角的分類,三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系等都是通過分類討論的。
5.類比:類比推理在人們認(rèn)識和改造客觀世界的活動中具有重要意義.它能觸類旁通,啟發(fā)思考,不僅是解決日常生活中大量問題的基礎(chǔ),而且是進(jìn)行科學(xué)研究和發(fā)明創(chuàng)造的有力工具.
6.函數(shù)的思想 :辯證唯物主義認(rèn)為,世界上一切事物都是處在運動、變化和發(fā)展的過程中,這就要求我們教學(xué)中重視函數(shù)的思想方法的教學(xué)。
7.方程:是初中代數(shù)的主要內(nèi)容.初中階段主要學(xué)習(xí)了幾類方程和方程組的解法,在初中階段就要形成方程的思想.所謂方程的思想,就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系,通過設(shè)未知數(shù)、列方程或方程組,解方程或方程組等步驟,達(dá)到求值目的的解題思路和策略,
擴(kuò)展資料:
函數(shù)思想,是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想,是從問題的數(shù)量關(guān)系入手,運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。
從問題的整體性質(zhì)出發(fā),突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造,發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或圖形看成一個整體,把握它們之間的關(guān)聯(lián),進(jìn)行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用。
參考資料:百度百科-數(shù)學(xué)思想
中學(xué)數(shù)學(xué)重要數(shù)學(xué)思想 函數(shù)方程思想 函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系,從而解決問題的一種思維方式,是很重要的數(shù)學(xué)思想。
1.函數(shù)思想:把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來,并研究這些量間的相互制約關(guān)系,最后解決問題,這就是函數(shù)思想; 2.應(yīng)用函數(shù)思想解題,確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟,大體可分為下面兩個步驟:(1)根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式,把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題;(2)根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的相關(guān)知識解決問題;(3)方程思想:在某變化過程中,往往需要根據(jù)一些要求,確定某些變量的值,這時常常列出這些變量的方程或(方程組),通過解方程(或方程組)求出它們,這就是方程思想; 3.函數(shù)與方程是兩個有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念,它們之間相互滲透,很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決,很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法的支援,函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系,形成了函數(shù)方程思想。 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一,對于所研究的代數(shù)問題,有時可研究其對應(yīng)幾何的性質(zhì)使問題得以解決(以形助數(shù));或者對于所研究的幾何問題,可借助于對應(yīng)圖形的數(shù)量關(guān)系使問題得以解決(以數(shù)助形),這種解決問題的方法稱之為數(shù)形結(jié)合。
1.數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動性和直觀性,發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴(yán)密性,兩者相輔相成,揚長避短。 2.恩格斯是這樣來定義數(shù)學(xué)的:“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”。
這就是說:數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,宇宙間萬事萬物無不是數(shù)和形的和諧的統(tǒng)一。因此,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中突出數(shù)形結(jié)合思想正是充分把握住了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。
3.數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是:幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系,數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)。 4.華羅庚先生曾指出:“數(shù)缺性時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非?!?/p>
數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形:或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性,或者借助于形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系. 5.把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在解析幾何中,歷年高考的解答題都有關(guān)于這個方面的考查(即用代數(shù)方法研究幾何問題)。而以形為手段的數(shù)形結(jié)合在高考客觀題中體現(xiàn)。
6.我們要抓住以下幾點數(shù)形結(jié)合的解題要領(lǐng): (1) 對于研究距離、角或面積的問題,可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可; (2) 對于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問題,可通過函數(shù)的圖象求解(函數(shù)的零點,頂點是關(guān)鍵點),作好知識的遷移與綜合運用; (3) 對于以下類型的問題需要注意:可分別通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x2+y2=1上的點及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。 分類討論的數(shù)學(xué)思想 分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時,就需要對研究的對象進(jìn)行分類,然后對每一類分別研究,給出每一類的結(jié)果,最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。
1.有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運用分類討論思想來解決,引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種: (1)涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的; (2)運用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運算性質(zhì)、法則是分類給出的; (3)求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性; (4)數(shù)學(xué)問題中含有參變量,這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的; (5)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題,需要采取分類討論的解題策略來解決的。 2.分類討論是一種邏輯方法,在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。
根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法,但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā),做到不重復(fù),不遺漏 ,包含各種情況,同時要有利于問題研究。 化歸與轉(zhuǎn)化思想 所謂化歸思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。
一般總是將復(fù)雜的問題通過變化轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將難解問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。 立體幾何中常用的轉(zhuǎn)化手段有 1.通過輔助平面轉(zhuǎn)化為平面問題,把已知元素和未知元素聚集在一個平面內(nèi),實現(xiàn)點線、線線、線面、面面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化; 2.平移和射影,通過平移或射影達(dá)到將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題,化未知為已知的目的; 3.等積與割補(bǔ); 4.類比和聯(lián)想; 5.曲與直的轉(zhuǎn)化; 6.體積比,面積比,長度比的轉(zhuǎn)化; 7.解析幾何本身的創(chuàng)建過程就是“數(shù)”與“形”之間互相轉(zhuǎn)化的過程。
解析幾何把數(shù)學(xué)的主要研究對象數(shù)量關(guān)系與幾何圖形聯(lián)系起來,把代數(shù)與幾何融合為一體。
這是數(shù)學(xué)上的一個思想
轉(zhuǎn)化思想------就是將未知解法或難以解決的問題,通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換,化歸為已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題方法的數(shù)學(xué)思想。化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想,解題的過程實際就是轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是,如:未知向已知的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、空間向平面的轉(zhuǎn)化、高維向低維的轉(zhuǎn)化、多元向一元的轉(zhuǎn)化,高次向低次的轉(zhuǎn)化等,都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。
通過不斷的轉(zhuǎn)化,把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考,等價轉(zhuǎn)化思想無處不見,我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識,將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力,提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的,才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的,要對結(jié)論進(jìn)行必要的修正,它能給人帶來思維的閃光點,找到解決問題的突破口。我們在應(yīng)用時一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性與非等價性的不同要求,實施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性,保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學(xué)家,莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出:“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程,就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。等價轉(zhuǎn)化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;它可以在宏觀上進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,如在分析和解決實際問題的過程中,普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯;它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換,即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等,都體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想,我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化??梢哉f,等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性,我們要合理地設(shè)計好轉(zhuǎn)化的途徑和方法,避免死搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實施等價轉(zhuǎn)化時,我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則,即把我們遇到的問題,通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理;或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題,變成比較簡單的問題,比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式…等;或者比較難以解決、比較抽象的問題,轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題,以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程,比如數(shù)形結(jié)合法;或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作,轉(zhuǎn)化過程省時省力,有如順?biāo)浦郏?jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想,可以提高解題的水平和能
一、用字母表示數(shù)的思想
這是基本的數(shù)學(xué)思想之一 .在代數(shù)第一冊第二章“代數(shù)初步知識”中,主要體現(xiàn)了這種思想。
例如: 設(shè)甲數(shù)為a,乙數(shù)為b,用代數(shù)式表示:(1)甲乙兩數(shù)的和的2倍:2(a+b)(2)甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的5倍差:2a-5b
二、數(shù)形結(jié)合的思想
“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想?!皵?shù)缺形時少直觀,形無數(shù)時難入微”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言,是對數(shù)形結(jié)合的作用進(jìn)行了高度的概括.數(shù)學(xué)教材中下列內(nèi)容體現(xiàn)了這種思想。
1、數(shù)軸上的點與實數(shù)的一一對應(yīng)的關(guān)系。
2、平面上的點與有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)的關(guān)系。
3、函數(shù)式與圖像之間的關(guān)系。
4、線段(角)的和、差、倍、分等問題,充分利用數(shù)來反映形。
5、解三角形,求角度和邊長,引入了三角函數(shù),這是用代數(shù)方法解決何問題。
6、“圓”這一章中,圓的定義,點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等都是化為數(shù)量關(guān)系來處理的。
7、統(tǒng)計初步中統(tǒng)計的第二種方法是繪制統(tǒng)計圖表,用這些圖表的反映數(shù)據(jù)的分情況,發(fā)展趨勢等。實際上就是通過“形”來反映數(shù)據(jù)扮布情況,發(fā)展趨勢等。實際上就是通過“形”來反映數(shù)的特征,這是數(shù)形結(jié)合思想在實際中的直接應(yīng)用。
三、轉(zhuǎn)化思想 (化歸思想)
在整個初中數(shù)學(xué)中,轉(zhuǎn)化(化歸)思想一直貫穿其中。轉(zhuǎn)化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易于解決的問題來解決,如化繁為簡、化難為易,化未知為已知,化高次為低次等,它是解決問題的一種最基本的思想,它是數(shù)學(xué)基本思想方法之一。下列內(nèi)容體現(xiàn)了這種思想:
1、分式方程的求解是分式方程轉(zhuǎn)化為前面學(xué)過的一元二次方程求解,這里把待解決的新問題化為已解決的問題來求解,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。
2、解直角三角形;把非直角三形問題化為直角三角形問題;把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
3、證明四邊形的內(nèi)角和為360度.是把四邊形轉(zhuǎn)化成兩個三角形的.同時探索多邊形的內(nèi)角和也是利用轉(zhuǎn)化的思想的.
四、分類思想
有理數(shù)的分類、整式的分類、實數(shù)的分類、角的分類,三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系等都是通過分類討論的。
平面的性質(zhì)中"轉(zhuǎn)化法"這種方法是什么意思
懸賞分:0 - 解決時間:2006-9-5 21:00
提問者: 再微 - 見習(xí)魔法師 二級
最佳答案
立體幾何主要考查空間元素的位置關(guān)系,特別是平行和垂直的判斷,空間距離和空間角的計算,并通過它們考查空間想象能力、推理判斷能力、邏輯表達(dá)能力及計算能力,并且同時重視對數(shù)學(xué)素質(zhì)和基本的數(shù)學(xué)思想和方法的考查。
高考立體幾何試題的主要特點:融線、面位置關(guān)系于立體圖形之中,以線面關(guān)系的分析為主;融推理、論證于幾何量的計算之中,以推理論證為主。試題主要體現(xiàn)立體幾何學(xué)科特點的通性、通法,突出化歸思想、轉(zhuǎn)化思想。試題以中等難度為主??碱}主要分為兩類,一類是空間線面關(guān)系的判斷、推理;一類是幾何量(如角度、距離、面積、體積等)的計算。前者應(yīng)畫圖或識圖,借助圖形分析思考,應(yīng)充分、熟練地運用相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理,要能從文字語言、符號語言、圖形語言全方位準(zhǔn)確理解,要廣泛聯(lián)想,合理轉(zhuǎn)化,從整體上把握與處理。后者一般分三個步驟:作圖—證明—計算。尤其是證明必不可少,應(yīng)引起考生高度重視。
由于多面體和旋轉(zhuǎn)體是直線與平面關(guān)系的繼續(xù)和深入,高考中立體幾何試題大多以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體。這就要求考生應(yīng)從幾何體的定義出發(fā),抓住底面、側(cè)面、棱(特別是側(cè)棱)或軸截面、側(cè)面展開圖等重要環(huán)節(jié)。注意重要幾何體之間的區(qū)別與聯(lián)系,學(xué)會從復(fù)雜的空間圖形中找出反映幾何體特征的平面圖形。有些問題看似復(fù)雜,但往往是一個普通數(shù)學(xué)問題的抽象或改編。高考題中的很多問題的“原型”都源于課本上的問題或結(jié)論,解答時,應(yīng)注意聯(lián)想課本中給出的內(nèi)容與平時解題中的體會,以便將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。策略就是“轉(zhuǎn)化”與“降維”,最終化歸為平面幾何問題。解題時應(yīng)注意通解、通法,比如,求異面直線所成的角,常用平移轉(zhuǎn)化法,轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角;求直線和平面所成的角,常利用投影法;作二面角的平面角時,常根據(jù)定義,或過棱上任一點作棱的垂面與兩個平面交線所夾的角,或利用三垂線定理或其逆定理,過一個平面內(nèi)一點分別作另一個平面的垂線和棱的垂線,連結(jié)兩個垂足,即可得二面角的平面角或其補(bǔ)二面角的平面角,求其大小時,往往利用解三角形或面積投影;求幾何體的體積時,常利用公式、或等積轉(zhuǎn)換或分割求積或補(bǔ)形求積等。解題時一定要有章可循,克服隨意性。
立體幾何解答題的命題方向有向探索性問題轉(zhuǎn)化的趨勢。2000年數(shù)學(xué)試卷解答題的第19題的第2個問題就是一個探索性問題。探索性問題的實質(zhì)就是要找出使條件B成立的一個充分條件A。這類問題一般的思考方法是:假設(shè)條件B成立,則條件B成立的必要條件有哪些,若干個與條件A有關(guān)聯(lián)的必要條件成立時,再看A必須滿足的條件。
總之,立體幾何問題應(yīng)遵循“正確作圖、仔細(xì)分析、推理有據(jù)、說理充分、準(zhǔn)確求解”的解題原則。
專家提供: 回答者: 安振平 - 中學(xué)教育數(shù)學(xué)專家 9-4
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