地球大圓劣弧長(球面兩點之間的球面最小距離`為什么是所在大圓的劣弧長)

1.球面兩點之間的球面最小距離`為什么是所在大圓的劣弧長

首先，連接兩點有一弦，在球面上，自然是圓弧最短，我們不考慮走詭異路線的連線；因為弦是一樣的，你可以推算出在同樣的弦上，半徑最大，所過的弧長最短，可以證明（根據(jù)圓心角和半徑以及弦長的關(guān)系）

證明：過在一個平面上的任意兩點，可以作無數(shù)圓。利用平面幾何的知識，可以很容易得出以下推論-在這些得到的圓中，如果半徑越大，這兩點所夾的圓弧長度就越短；對于以這兩點間距離為直徑的圓，這兩點所夾的圓弧長度達到最大。

過球面上任意兩點的圓弧都是在某個過這兩點的平面與該球切割出的圓上。在所有的可能存在的圓中，過這兩點且過球心的那個平面所能切割出的圓有最大的半徑（即球的半徑），根據(jù)上面的推論，該平面所切的圓弧長度最短。

過在一個平面上的任意兩點，可以作無數(shù)圓。利用平面幾何的知識，可以很容易得出以下推論-在這些得到的圓中，如果半徑越大，這兩點所夾的圓弧長度就越短；對于以這兩點間距離為直徑的圓，這兩點所夾的圓弧長度達到最大。

2.為什么兩點間的球面距離指的是過兩點的大圓在兩點間的劣弧長度呢

因為兩點間點的軌跡是沿球面的弧線。

具體分析如下（教學課件截選）： 《球面距離》的教學設(shè)計 □ 陳滿芝 六、教學過程的設(shè)計 1.問題情境，引入課題 1993年4月7日，中國東方航空公司的航班噴氣客機從上海飛往美國洛杉磯，因受到強氣流的影響，被迫在美國阿拉斯加阿留申群島的某空軍基地緊急降落。 經(jīng)過緊急處理，除60名傷員仍留在阿拉斯加的安克雷奇醫(yī)院中之外，其余173名旅客已于4月9日到達洛杉磯。

（多媒體演示飛機從上海起飛，在阿留申群島停留并繼續(xù)飛往洛杉磯的過程，并留下飛機的飛行路線） 2.新課教學 學生提問：飛機為什么不沿直線飛行？ 師：讓學生在地球儀上找找這三個城市的位置。 （上海和洛杉磯都在北緯30o稍偏北的位置，上海的經(jīng)度在東經(jīng)120o梢偏東，洛杉磯的經(jīng)度為西經(jīng)120o稍偏西。）

師：從世界地圖上看似乎沿北緯30o的圓距離最近，可為什么從上海飛往美國洛杉磯的飛機會迫降在東北方向的阿拉斯加呢？這豈不是在繞遠道嗎？ 生：飛機是在繞遠道。 生：飛機沒有繞遠道，因為這樣的話很浪費燃料。

生：是受氣流的影響。 師：選擇航線的標準是什么？ 生：行程盡可能短。

師：怎樣航線距離最短或盡可能短，這個問題實際上轉(zhuǎn)化成在地球上兩點間的最短距離的問題。 師：復(fù)習七種距離：兩點間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，異面直線間的距離，平行線間的距離，平行于平面的直線與平面間的距離，平行平面間的距離。

師：這七種距離的共同特點是什么？ 生歸納總結(jié)都是一條線段的長，具有最小性、唯一性。 師：那么球面上兩點間的距離是否與前面的距離相同呢？ 3.動手試驗，探求未知 學生借助幾何畫板進行試驗：作出以線段AB為公共弦的若干個圓，并用畫板中的度量功能，分別得到這幾個圓中弦AB所對的劣弧的長。

學生猜想：以線段AB為公共弦的若干個圓中，半徑較大的圓，弦所對的劣弧長較小。 由于這個命題的證明不是本節(jié)課的重點，于是讓有興趣的同學在課外去完成。

到此，球面距離的概念已呼之欲出，讓同學們用數(shù)學語言陳述球面距離的定義。 4.球面距離的定義： 在球面上兩點之間的最短距離是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的劣?。ɑ虿怀^半圓?。┑拈L度，這條弧長叫做兩點間的球面距離。

5.例題分類，尋求解法 ① 經(jīng)度相同緯度不同的兩地的球面距離 例1. 請估算北京與香港之間的球面距離 結(jié)論：緯度差的絕對值乘以地球的半徑。 ② 緯度相同經(jīng)度不同的兩地間的球面距離 例2.求上海到洛杉磯的距離。

例3.已知A地位于東經(jīng)40o，北緯45o，地位于東經(jīng)130o，北緯45o，求A,B兩地之間的球面距離 解：如圖所示，A、B都在北緯450圈上，所以∠AOO1=∠BOO1=450, AO1=BO1=Rsin450= ，又因為A、B的經(jīng)度分別是東經(jīng)400、1300，所以經(jīng)度相差900，即∠AO1B=900，所以AB=R，球心角∠AOB= 弧度，所以A、B兩地的球面距離為 例4.已知地球上的兩地的位置分別是南緯45°和東經(jīng)135°、北緯45°和西經(jīng)135°，地球的半徑為R，求這兩地的球面距離. 解：東經(jīng)135°與西經(jīng)135°的經(jīng)度差是90°，對應(yīng)的兩個半大圓成直二面角. 設(shè)兩地分別為A,B，球心為O,OA=OB. OA,OB與軸線均成45°角，在赤道兩側(cè). ∠AOB=120o（過程略），弧長是 ∴兩地的球面距離是 例5.某國際航空公司計劃開通由杭州（東經(jīng)120o，北緯30o）至列寧格勒（東經(jīng)30o，北緯60o）的空中航線，請計算這兩座城市之間的航程（地球視為半徑為R=6370千米的球體，飛機飛行的高度忽略不計， ） 解：如圖所示，A、B分別表示杭州（東經(jīng)1200、北緯300）、列寧格勒（東經(jīng)300、北緯600）， 則∠AOO1=600,AO1= ,OO1= ， ∠BOO2=300,BO2= ,OO2= 又因為A、B的經(jīng)度相差900,O1O2= – ， 所以點AO1、BO2是互相垂直的異面直線，由異面直線上兩點的距離公式得：AB2= AO12+ BO22+ O1O22=(2- )R2，由余弦定理：cos∠AOB= ，根據(jù)條件cos1。 137= ，因此A、B所對應(yīng)的球心角∠AOB =1。

137弧度，所以A、B兩地的球面距離為1。137*6370=7243（千米）。

答：這兩座城市之間的航程約為7243千米。 小結(jié)：計算球面距離的關(guān)鍵是先求出過此兩點的大圓的劣弧所對的圓心角（球心角），根據(jù)弧長即可求出劣弧長，亦即這兩點的球面距離。

5.能力檢測 練習1。球的直徑是20cm，球面上有A,B兩點，它們之間的直線距離是10cm，則球面上A,B兩點之間的距離的（ ） A。

10cmB。10л D。

6.課題小結(jié)，交流體驗 由同學們小結(jié)，可從體驗，方法和球面距離的具體求法進行小結(jié)。 。