高中數(shù)學(xué)數(shù)列例題(高一數(shù)列 函數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn) 常用技巧和一些經(jīng)典例題)

1.高一數(shù)列、函數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)、常用技巧和一些經(jīng)典例題

數(shù)列在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中處于知識(shí)和方法的匯合點(diǎn)，在這個(gè)單元中顯性知識(shí)包括三個(gè)概念、兩種公式和一種關(guān)系（an和Sn的關(guān)系），隱性方面包括五種基本方法（觀察歸納、類(lèi)比聯(lián)想、倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)求和）和五種重要的數(shù)學(xué)思想（函數(shù)思想、方程思想、分類(lèi)討論的思想、轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想）.縱觀教材，概念和公式是核心，思維是支柱，運(yùn)算是主體，應(yīng)用是歸宿，等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì)及公式的應(yīng)用成為復(fù)習(xí)的重點(diǎn). 數(shù)列這個(gè)單元的復(fù)習(xí)應(yīng)注意三個(gè)方面：①重視函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系及方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用；②重視等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)以及可化為等差、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單問(wèn)題，同時(shí)應(yīng)重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用；③設(shè)計(jì)一些新穎題目，尤其是探索性問(wèn)題，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神.由于數(shù)列綜合題涉及的問(wèn)題背景材料新穎，解法靈活多樣，建議在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，啟發(fā)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì). 高考大綱對(duì)數(shù)列要求 近幾年高考數(shù)學(xué)考試大綱沒(méi)有變化，特別是 04、05、06要求都是一樣的，對(duì)于《數(shù)列》一章的考試內(nèi)容及考試要求為：（1）理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)； （2）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題； （3）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.”參考資料：?fr=qrl3。

2.求一些高一數(shù)列的經(jīng)典例題

數(shù)列·例題解析 【例1】 求出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式解 （1）所給出數(shù)列前5項(xiàng)的分子組成奇數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2n-1，而前5項(xiàng)的分母所組成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為2*2n，所以，已知數(shù)列的（2）從所給數(shù)列的前四項(xiàng)可知，每一項(xiàng)的分子組成偶數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2n，而分母組成的數(shù)列3,15,35,63，…可以變形為1*3,3*5,5*7,7*9，…即每一項(xiàng)可以看成序號(hào)n的（2n-1）與2n+1的積，也即（2n-1）(2n+1)，因此，所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（3）從所給數(shù)列的前5項(xiàng)可知，每一項(xiàng)的分子都是1，而分母所組成的數(shù)列3,8,15,24,35，…可變形為1*3,2*4,3*5,4*6,5*7，…，即每一項(xiàng)可以看成序號(hào)n與n+2的積，也即n(n+2).各項(xiàng)的符號(hào)，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正.因此，所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為：1,4,9,16,25，…是序號(hào)n的平方即n2，分母均為2.因此所【例2】 求出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.（1）2,0,2,0,2，…（3）7,77,777,7777,77777，…（4）0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222，…解 （1）所給數(shù)列可改寫(xiě)為1+1,-1+1,1+1,-1+1，…可以看作數(shù)列1,-1,1,-1，…的各項(xiàng)都加1，因此所給數(shù)的通項(xiàng)公式an=(-1)n+1+1.所給數(shù)列亦可看作2,0,2,0…周期性變化，因此所給數(shù)列的數(shù)列n，分子組成的數(shù)列為1,0,1,0,1,0，…可以看作是2,(4)所給數(shù)列0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222，…可以改寫(xiě)說(shuō)明1.用歸納法寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律.對(duì)于項(xiàng)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的數(shù)列，可將其分成幾個(gè)部分分別考慮，然后將它們按運(yùn)算規(guī)律結(jié)合起來(lái).2.對(duì)于常見(jiàn)的一些數(shù)列的通項(xiàng)公式（如：自然數(shù)列，an=n；自然數(shù)的平方數(shù)列，an=n2；奇數(shù)數(shù)列，an=2n-1；偶數(shù)數(shù)列，an=2n；納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.要掌握對(duì)數(shù)列各項(xiàng)的同加、同減、同乘以某一個(gè)不等于零的數(shù)的變形方法，將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的一些數(shù)列.幾項(xiàng).【例4】 已知下面各數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（1）Sn=2n2-3n (2)Sn=n2+1(3)Sn=2n+3 (4)Sn=(-1)n+1·n解 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5，由于a1也適合此等式，因此an=4n-5.(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1+1=2；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1，由于a1不適合于此等式，（3）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2+3=5；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3)=2n-1，由于a1不適合于此等式，（4）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=(-1)2·1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·（n-1）=(-1)n+1(2n-1)，由于a1也適可于此等式，因此an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*.說(shuō)明 已知Sn求an時(shí)，要先分n=1和n≥2兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一.（1）寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）求an.(2)由第（1）小題中前5項(xiàng)不難求出.【例6】 數(shù)列{an}中，a1=1，對(duì)所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an=n2.(1)求a3+a5；解 由已知：a1·a2·a3·…·an=n2得說(shuō)明 （1）“知和求差”、“知積求商”是數(shù)列中常用的基本方法.（2）運(yùn)用方程思想求n，若n∈N*，則n是此數(shù)列中的項(xiàng)，反之，則不是此數(shù)列中的項(xiàng).【例7】 已知數(shù)an=(a2-1)(n3-2n)(a=≠±1)是遞增數(shù)列，試確定a的取值范圍.解法一 ∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴an+1>anan+1-an=(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)]-(a2-1)(n3-2n)=(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)-n3+2n]=(a2-1)(3n2+3n-1)∵（a2-1）(3n2+3n-1)>0又∵n∈N*，∴3n2+3n-1=3n(n+1)-1>0∴a2-1>0，解得a1.解法二 ∵{an}是遞增數(shù)列，∴a10∴a1說(shuō)明 本題從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，利用遞增數(shù)列這一已知條件，將求取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式的問(wèn)題。

3.高中數(shù)學(xué)必修4里關(guān)于數(shù)列各種例題的做法

一、等差數(shù)列 如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a1+(n-1)d (1)前n項(xiàng)和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 從（1）式可以看出，an是n的一次數(shù)函（d≠0）或常數(shù)函數(shù)（d=0）,(n,an)排在一條直線上，由（2）式知，Sn是n的二次函數(shù)（d≠0）或一次函數(shù)（d=0,a1≠0），且常數(shù)項(xiàng)為0。 在等差數(shù)列中，等差中項(xiàng)：一般設(shè)為Ar,Am+An=2Ar，所以Ar為Am,An的等差中項(xiàng)。

且任意兩項(xiàng)am,an的關(guān)系為：an=am+(n-m)d它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。 從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2，…，n} 若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列，等等。

和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）*項(xiàng)數(shù)÷2 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1 首項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng)末項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng)項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）/公差+1例題：已知{an}是等差數(shù)列，a2=8,S10=185，從數(shù)列中依次取出偶數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式解：（Ⅰ）設(shè){an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則 a1+d=8 10(2a1+9d)/2=185，解得 a1=5 d=3 ∴an=5+3(n-1)，即an=3n+2 （Ⅱ）設(shè)b1=a2,b2=a4,b3=a8， 則bn=a2^n = 3*2^n+2二 等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。

（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：An=A1*q^(n-1)(2)前n項(xiàng)和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 且任意兩項(xiàng)am,an的關(guān)系為an=am·qn-m(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)若m,n,p,q∈N*，則有：ap·aq=am·an，等比中項(xiàng)：aq·ap=2ar ar則為ap,aq等比中項(xiàng)。記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。

在這個(gè)意義下，我們說(shuō)：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。 性質(zhì)： ①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am·an=ap*aq； ②在等比數(shù)列中，依次每 k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列. “G是a、b的等比中項(xiàng)”“G^2=ab(G≠0)”. 在等比數(shù)列中，首項(xiàng)A1與公比q都不為零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

例題：前n項(xiàng)和為s=3^n+a 當(dāng)a為多少時(shí) an為等比數(shù)列解： 當(dāng)n>1時(shí)， Sn=3^n+a Sn-1=3^(n-1)+a 故an=Sn-Sn-1=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1) 所以an應(yīng)該是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，但這是n>1的情況，必須保證n=1也符合上面的通項(xiàng)公式. 所以a1=2*3^0=2……（1） 又S1=a1=3^1+a……（2） 根據(jù)（1）(2)式得 a=-1。

4.幫我發(fā)些有關(guān)高中數(shù)列的例題

例1.從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.

(1)設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫(xiě)出an,bn的表達(dá)式；

(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

知識(shí)依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn).

技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，（2）問(wèn)中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.

解：（1）第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800*(1-)萬(wàn)元，…第n年投入為800*(1-)n-1萬(wàn)元，所以，n年內(nèi)的總投入為

an=800+800*(1-)+…+800*(1-)n-1=800*(1-)k-1

=4000*[1-()n]

第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400*(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400*(1+)n-1萬(wàn)元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

bn=400+400*(1+)+…+400*(1+)k-1=400*()k-1.

=1600*[()n-1]

(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此bn-an>0，即：

1600*[()n-1]-4000*[1-()n]>0，令x=()n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x1（舍去）.即（）n

∴至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.

5.數(shù)學(xué)數(shù)列的基本題型

數(shù) 列 摘要：數(shù)列問(wèn)題是一個(gè)很有趣的問(wèn)題，生活中的很多事件，都和數(shù)列緊緊的聯(lián)系在一起，本課題重點(diǎn)研究了等差數(shù)列，等差數(shù)列的判定，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的證明，以及數(shù)學(xué)證明中常用的方法數(shù)學(xué)歸納法等。

關(guān)鍵詞：等差 等差數(shù)列 相連項(xiàng) 前n項(xiàng)和 在數(shù)學(xué)發(fā)展的早期已有許多人研究過(guò)數(shù)列這一課題，特別是等差數(shù)列。例如早在公元前2700年以前埃及數(shù)學(xué)的《萊因特紙草書(shū)》中，就記載著相關(guān)的問(wèn)題。

在巴比倫晚期的《泥板文書(shū)》中，也有按級(jí)遞減分物的等差數(shù)列問(wèn)題。其中有 一個(gè)問(wèn)題大意是： 10個(gè)兄弟分100兩銀子，長(zhǎng)兄最多，依次減少相同數(shù)目 。

現(xiàn)知第八兄弟分得6兩，問(wèn)相鄰兩兄弟相差多少？數(shù)列是從生活中抽像出來(lái)的，日常生活中遇到的許多實(shí)際問(wèn)題，如貸款、利率、折舊、人口增長(zhǎng)、放射物的衰變等都可以用等差數(shù)列和等比數(shù)列來(lái)刻畫(huà)，然而在數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科中數(shù)列又是如何定義的呢？數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)表示方法：1 列舉法 ：如數(shù)列 ， ， 2解析法 ：通項(xiàng)公式、遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的方法：觀察歸納法、待定系數(shù)法、公式法數(shù)列的分類(lèi)：1 按項(xiàng)數(shù)分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列 2 按范圍分為有界數(shù)列和無(wú)界數(shù)列 3 按單調(diào)性分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列和常數(shù)列（擺動(dòng)數(shù)列）我們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常會(huì)碰見(jiàn)一些關(guān)于數(shù)列的問(wèn)題 1.四年級(jí)同學(xué)小明覺(jué)得自己英語(yǔ)成績(jī)很差，目前他的單詞量只 yes,no,you,me,he 5個(gè) 他決定從今天起每天背記10個(gè)單詞，那么從今天開(kāi)始，他的單詞量逐日增加，依次為：5,15,25,35，… （問(wèn)：多少天后他的單詞量達(dá)到3000?） 2.小李是石河子大學(xué)化學(xué)系的一名學(xué)生，他的英語(yǔ)成績(jī)很棒，他在大二時(shí)就過(guò)了外語(yǔ)四級(jí)，她目前的單詞量多達(dá)4500 但后來(lái)迷上了網(wǎng)絡(luò)游戲，他打算從今天起不再背單詞了，結(jié)果不知不覺(jué)地每天忘掉30個(gè)單詞，那么從今天開(kāi)始，她的單詞量逐日遞減，依次為：4500,4470,4440,4410，… （問(wèn)：多少天后她那4500個(gè)單詞全部忘光？）從上面兩例中，我們分別得到兩個(gè)數(shù)列 ① 5,15,25,35，… 和 ② 4500,4470,4440,4410，… 大家仔細(xì)觀察一下，看看以上兩個(gè)數(shù)列有什么共同特征？？ ·共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)（即等差）；（誤：每相鄰兩項(xiàng)的差相等--應(yīng)指明作差的順序是后項(xiàng)減前項(xiàng)），我們給具有這種特征的數(shù)列一個(gè)名字--等差數(shù)列） 1. 等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，我們把這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列 2. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 【或 】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得 若一等差數(shù)列 的首項(xiàng)是 ，公差是d，則據(jù)其定義可得： 即： 即： 即： …… 由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得： 等差中項(xiàng)：如過(guò)三個(gè)數(shù) 成等差數(shù)列那么中間一項(xiàng) 稱(chēng)為 的等差中項(xiàng) ∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng) 和公差d，便可求得其通項(xiàng) 下面我們來(lái)具體研究等差數(shù)列的一些問(wèn)題 一、等差數(shù)列的判定方法 1. 若數(shù)列 從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù)d，即： - =d（常數(shù)） 則 是等差數(shù)列，其公差為d 2.若數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的兩倍都等于前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的和即： 2 = + 則是等差數(shù)列（ 是 與 的等差中項(xiàng)） 3. 若數(shù)列 的通項(xiàng) 是項(xiàng)數(shù)n的一次多項(xiàng)式或者是常數(shù)，即： = （p,q為常數(shù)）， 則 是等差數(shù)列，其首項(xiàng)是 ，公差是 4. 若數(shù)列 的前n項(xiàng)和 是項(xiàng)數(shù)n的二次項(xiàng)系數(shù)為零的二次多項(xiàng)式或一次多項(xiàng)式，即： （k,h為常數(shù)），則 是等差數(shù)列，其首項(xiàng)是 ，公差是 5. 若數(shù)列 是公差為d的等差數(shù)列，k是一個(gè)常數(shù)，則數(shù)列 是公差為kd的等差數(shù)列 6.若數(shù)列 是公差為d的等差數(shù)列，r是一個(gè)常數(shù)，則數(shù)列 也是公差為d的等差數(shù)列例1. 判斷下列數(shù)列 是否為等差數(shù)列？如果是寫(xiě)出其公差（1） 的第n項(xiàng)為： （2） 的第n項(xiàng)為： （3） 的第n項(xiàng)和為： （4） 的第n項(xiàng)和為： 解：（1）因?yàn)?=5 =5 = 所以 是等差數(shù)列，其公差為 （2）因?yàn)?= 所以 是項(xiàng)數(shù)n的一次多項(xiàng)式，從而 是等差數(shù)列，其公差為4。(3)因?yàn)?= 所以 是項(xiàng)數(shù)n的二次多項(xiàng)式，二次多項(xiàng)式系數(shù)是3，常數(shù)項(xiàng)為零，因此 是等差數(shù)列，其公差d=6 (4) 所以 是項(xiàng)數(shù)n的二次多項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)為1，因此 不是等差數(shù)列 二 、等差數(shù)列的基本公式及一些簡(jiǎn)單求法基本公式： （1） = 或者 = = （2） (3) ，特別的 或者 ，特別的 （一） 簡(jiǎn)單公式求法 利用等差數(shù)列的基本公式，解一些關(guān)于等差數(shù)列的題目，俗話(huà)說(shuō)的好知三求二。

例1. 在等差數(shù)列 中，已知 ， ，求 ， ， 解法一：∵ ， ，則 ∴ 解法二：∵ ∴ 小結(jié)：第二通項(xiàng)公式 例2.將一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式輸入計(jì)算器數(shù)列 中，設(shè)數(shù)列的第s項(xiàng)和第t項(xiàng)分別為 和 ，計(jì)算 的值，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論 解：通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn) 的值恒等于公差證明：設(shè)等差數(shù)列{ }的首項(xiàng)為 ，末項(xiàng)為 ，公差為d， ⑴-⑵得 小結(jié)：①這就是第二通項(xiàng)公式的變形，②幾何特征，直線的斜率（2） 相連項(xiàng)求法如過(guò)三個(gè)數(shù) 成等差數(shù)列那么中間一項(xiàng) 稱(chēng)為 的等差中項(xiàng)。若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，我們通常設(shè)等差中項(xiàng)為a，公差為d，于是這三個(gè)數(shù)為： ，這樣的話(huà)它們的和就是一個(gè)差與公d無(wú)關(guān)的數(shù)，（只與等差中項(xiàng)a有關(guān)）這樣通?？梢院?jiǎn)化運(yùn)算，同理若四個(gè)連續(xù)的數(shù)成等差數(shù)列，我門(mén)通。

6.高中數(shù)學(xué)的數(shù)列基礎(chǔ)

只有是等差數(shù)列的話(huà)。

a(n+1)-an才會(huì)等于一個(gè)恒定的值。

不過(guò)不是定值，有的也能求，但不是等比也不是等差。

比如a(n+1)-an=-(n+2)

a(n+1)+(n+2)=an

a(n+1)+2(n+1)=an+n

這個(gè)就是個(gè)an+n的等比數(shù)列。

an-an-1=a1是想問(wèn)什么？

a1是個(gè)恒定的值，那么這個(gè)就是等差數(shù)列了。

還有疑問(wèn)追問(wèn)我把。希望對(duì)您有所幫助

7.高三數(shù)列專(zhuān)題總結(jié)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。在高考中靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及兩種特殊數(shù)列的性質(zhì)將是考查的重點(diǎn)。在數(shù)列的考查中主要體現(xiàn)了函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、歸納等數(shù)學(xué)思想，以及待定系數(shù)法、換元法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等基本方法，應(yīng)引起足夠的重視。解答數(shù)列客觀題有三個(gè)境界：①基本元法：已知-基本元-所求；②用性質(zhì)解題；③用特殊與一般的思想。

解答題有五類(lèi)：①基本運(yùn)算題；②與函數(shù)、方程、不等式綜合題；③探索性問(wèn)題（包括數(shù)學(xué)歸納法）；④推理證明題；⑤關(guān)于數(shù)列實(shí)際知識(shí)的應(yīng)用題。

復(fù)習(xí)策略

1、明確應(yīng)用本章知識(shí)要解決的主要問(wèn)題

(1)對(duì)數(shù)列概念理解的題目；

(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列中的五個(gè)量 ，“知三求二”的問(wèn)題；

(3)數(shù)列知識(shí)在實(shí)際方面的應(yīng)用。

2、解決上述問(wèn)題時(shí)，一是用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)分析、解決有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題；二是要運(yùn)用方程的思想解決等差數(shù)列和等比數(shù)列中的“知三求二”的問(wèn)題；三是能自覺(jué)運(yùn)用等差、等比數(shù)列的特性來(lái)化簡(jiǎn)；四是掌握必要的技巧（如化歸、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)求和、遞推等）；五是熟練掌握 與 的關(guān)系式的用法。

8.求高一的各種數(shù)列的題型

求數(shù)列通項(xiàng)公式的常規(guī)思想方法列舉（配典型例題）數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較難。

而作為給出數(shù)列的一種形式——通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問(wèn)題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。

一. 觀察法例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）9,99,999,9999，…（2） (3) (4) 解：（1）變形為：101-1,102―1,103―1,104―1，…… ∴通項(xiàng)公式為： （2） (3) (4) .觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。 二、定義法例2： 已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x-1)2，且a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q-1),(1)求數(shù)列{ a n }和{ b n }的通項(xiàng)公式；解：（1）∵a 1=f (d-1) = (d-2)2,a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n-1)d = 2(n-1)；又b1= f (q+1)= q2,b3 =f (q-1)=(q-2)2，∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=-2，∴bn=b?qn-1=4?（-2）n-1當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。

三、疊加法例3：已知數(shù)列6,9,14,21,30，…求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。解 易知 ∵ ……各式相加得 ∴ 一般地，對(duì)于型如 類(lèi)的通項(xiàng)公式，只要 能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。

四、疊乘法例4：在數(shù)列{ }中， =1, (n+1)? =n? ，求 的表達(dá)式。解：由（n+1）? =n? 得 ， = ? ? … = 所以 一般地，對(duì)于型如 = （n）? 類(lèi)的通項(xiàng)公式，當(dāng) 的值可以求得時(shí)，宜采用此方法。

五、公式法若已知數(shù)列的前 項(xiàng)和 與 的關(guān)系，求數(shù)列 的通項(xiàng) 可用公式 求解。例5：已知下列兩數(shù)列 的前n項(xiàng)和sn的公式，求 的通項(xiàng)公式。

（1） 。 (2) 解： （1） = = =3 此時(shí)， 。

∴ =3 為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2） ，當(dāng) 時(shí) 由于 不適合于此等式 。

∴ 注意要先分n=1和 兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。 例6. 設(shè)數(shù)列 的首項(xiàng)為a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足關(guān)系 求證：數(shù)列 是等比數(shù)列。

解析：因?yàn)? 所以 所以，數(shù)列 是等比數(shù)列。六、階差法例7.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 與 的關(guān)系是 ，其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且 。

求出用n和b表示的an的關(guān)系式。解析：首先由公式： 得：利用階差法要注意：遞推公式中某一項(xiàng)的下標(biāo)與其系數(shù)的指數(shù)的關(guān)系，即其和為 。

七、待定系數(shù)法例8：設(shè)數(shù)列 的各項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和，若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12，求通項(xiàng)公式cn解：設(shè) 點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法解題時(shí)，常先假定通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式為某一多項(xiàng)式，一般地，若數(shù)列 為等差數(shù)列：則 ， （b、c為常數(shù)），若數(shù)列 為等比數(shù)列，則 ， 。八、輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。

例9.在數(shù)列 中， ， ， ，求 。解析：在 兩邊減去 ，得 ∴ 是以 為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，∴ ，由累加法得 = = … = = = 例10.(2003年全國(guó)高考題)設(shè) 為常數(shù)，且 （ ），證明：對(duì)任意n≥1， 證明：設(shè)， 用 代入可得 ∴ 是公比為 ，首項(xiàng)為 的等比數(shù)列，∴ （ ），即： 型如an+1=pan+f(n) (p為常數(shù)且p≠0, p≠1)可用轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列等.（1）f(n)= q (q為常數(shù))，可轉(zhuǎn)化為an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列。

例11：已知數(shù) 的遞推關(guān)系為 ，且 求通項(xiàng) 。解：∵ ∴ 令 則輔助數(shù)列 是公比為2的等比數(shù)列∴ 即 ∴ 例12： 已知數(shù)列{ }中 且 （ ），，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：∵ ∴ ， 設(shè) ，則 故{ }是以 為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列 ∴ ∴ 例13.(07全國(guó)卷Ⅱ理21)設(shè)數(shù)列 的首項(xiàng) .（1）求 的通項(xiàng)公式；解：（1）由 整理得 . 又 ，所以 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，得注：一般地，對(duì)遞推關(guān)系式an+1=pan+q (p、q為常數(shù)且，p≠0,p≠1)可等價(jià)地改寫(xiě)成 則{ }成等比數(shù)列，實(shí)際上，這里的 是特征方程x=px+q的根。（2） f(n)為等比數(shù)列，如f(n)= qn (q為常數(shù)) ，兩邊同除以qn，得 ，令bn= ，可轉(zhuǎn)化為bn+1=pbn+q的形式。

例14.已知數(shù)列{an}中，a1= , an+1= an+( )n+1，求an的通項(xiàng)公式。解：an+1= an+( )n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 則 bn+1= bn+1 易得 bn= 即 2nan= ∴ an= (3) f(n)為等差數(shù)列例15.已知已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1+an=3+2 n，求an的通項(xiàng)公式。

解：∵ an+1+an=3+2 n,an+2+an+1=3+2(n+1)，兩式相減得an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1)， ∴ an= 。注：一般地，這類(lèi)數(shù)列是遞推數(shù)列的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，要理解掌握。

（4） f(n)為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列例16.(07天津卷理)在數(shù)列 中， ，其中 .（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；解：由 ， ，可得 ，所以 為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故 ，所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .這種方法類(lèi)似于換元法， 主要用于已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。九、歸納、猜想如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。

例17.(2002年北京春季高考)已知點(diǎn)的序列 ，其中 ， ， 是線段 的中點(diǎn)， 是線段 的中點(diǎn)，…， 是線段 的中點(diǎn)，…（1） 寫(xiě)出 與 之間的關(guān)系式（ ）。（2） 設(shè) ，計(jì)算 ，由此推測(cè) 的通項(xiàng)公式，并。

9.幫忙總結(jié)一下高中數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)

高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實(shí)進(jìn)行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個(gè)問(wèn)題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個(gè)數(shù)列的前 項(xiàng)和 ，則其通項(xiàng)為 若 滿(mǎn)足 則通項(xiàng)公式可寫(xiě)成 .（2）數(shù)列計(jì)算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計(jì)算，是高考命題重點(diǎn)考查的內(nèi)容.（3）解答有關(guān)數(shù)列問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo). ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問(wèn)題可以化為函數(shù)問(wèn)題求解. ②分類(lèi)討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為 及 ；已知 求 時(shí)，也要進(jìn)行分類(lèi)； ③整體思想：在解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢(shì)，運(yùn)用整 體思想求解. （4）在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，要認(rèn)真地進(jìn)行分析，將實(shí)際問(wèn)題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用有關(guān)數(shù)列知識(shí)和方法來(lái)解決.解答此類(lèi)應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運(yùn)用，決不是簡(jiǎn)單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項(xiàng)不要弄錯(cuò). 一、基本概念： 1、數(shù)列的定義及表示方法： 2、數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)： 3、有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列： 4、遞增（減）、擺動(dòng)、循環(huán)數(shù)列： 5、數(shù)列的通項(xiàng)公式an: 6、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn: 7、等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 8、等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 二、基本公式： 9、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an= 10、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)） 當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。

11、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn= Sn= Sn= 當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a1≠0）,Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。 12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0） 13、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 （是關(guān)于n的正比例式）； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn= Sn= 三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 14、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。

15、等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則 16、等比數(shù)列中，若m+n=p+q，則 17、等比數(shù)列的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。 18、兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列、仍為等差數(shù)列。

19、兩個(gè)等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列 、、仍為等比數(shù)列。 20、等差數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

21、等比數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。 22、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq； 四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 （為什么？） 24、為等差數(shù)列，則 （c>0）是等比數(shù)列。

25、（bn>0）是等比數(shù)列，則 （c>0且c 1） 是等差數(shù)列。 26. 在等差數(shù)列 中： （1）若項(xiàng)數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， ， 27. 在等比數(shù)列 中： （1） 若項(xiàng)數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， 四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。

關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)。 28、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n 29、錯(cuò)位相減法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂項(xiàng)法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求數(shù)列的最大、最小項(xiàng)的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的。