有關(guān)微積分的(請問微積分的)

1.請問微積分的基礎(chǔ)知識(shí)

什么是微積分？它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無限細(xì)分’就是微分，‘無限求和’就是積分。

無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念 如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。

微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。

整個(gè)17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。 從微積分成為一門學(xué)科來說，是在17世紀(jì)，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

公元前3世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎(chǔ)極限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。

三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學(xué)》一書中，就把曲線看成邊數(shù)無限增大的直線形。

圓的面積就是無窮多個(gè)三角形面積之和，這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。

這些都為后來的微積分的誕生作了思想準(zhǔn)備。 17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，不但已有的數(shù)學(xué)成果得到進(jìn)一步鞏固、充實(shí)和擴(kuò)大，而且由于實(shí)踐的需要，開始研究運(yùn)動(dòng)著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關(guān)系。

到了17世紀(jì)下半葉，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，英國大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克·牛頓（1642-1727）是從物理學(xué)的角度研究微積分的，他為了解決運(yùn)動(dòng)問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論，即牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”的理論，這實(shí)際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮極數(shù)》。

這些概念是力學(xué)概念的數(shù)學(xué)反映。牛頓認(rèn)為任何運(yùn)動(dòng)存在于空間，依賴于時(shí)間，因而他把時(shí)間作為自變量，把和時(shí)間有關(guān)的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形——線、角、體，都看作力學(xué)位移的結(jié)果。

因而，一切變量都是流量。 牛頓指出，“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類問題。

（l）“已知流量之間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系”，這相當(dāng)于微分學(xué)。 （2）已知表示流數(shù)之間的關(guān)系的方程，求相應(yīng)的流量間的關(guān)系。

這相當(dāng)于積分學(xué)，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)，還包括解微分方程。 （3）“流數(shù)術(shù)”應(yīng)用范圍包括計(jì)算曲線的極大值、極小值、求曲線的切線和曲率，求曲線長度及計(jì)算曲邊形面積等。

牛頓已完全清楚上述（l）與（2）兩類問題中運(yùn)算是互逆的運(yùn)算，于是建立起微分學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系。 牛頓在1665年5月20目的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標(biāo)志。

萊布尼茨使微積分更加簡潔和準(zhǔn)確 而德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz 1646-1716）則是從幾何方面獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學(xué)家研究過，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。但是池們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統(tǒng)一性。

萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則的。

牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣較萊布尼茨高一籌，但萊布尼茨的表達(dá)形式采用數(shù)學(xué)符號(hào)卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌，既簡潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)有力地促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展。 萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號(hào)，正像印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展，萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號(hào)創(chuàng)造者之一。

牛頓當(dāng)時(shí)采用的微分和積分符號(hào)現(xiàn)在不用了，而萊布尼茨所采用的符號(hào)現(xiàn)今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認(rèn)識(shí)到，好的符號(hào)能大大節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。

2.微積分的知識(shí)

第二講 微積分基本公式教學(xué)目的：掌握微積分基本公式和變上限積分的性質(zhì) 難 點(diǎn)：變上限積分的性質(zhì)與應(yīng)用重 點(diǎn)：牛頓----萊布尼茲公式由上一節(jié)可以看到，盡管定積分可以用“和式極限”來計(jì)算，但利用定義來計(jì)算定積分一般是相當(dāng)復(fù)雜和困難的，有時(shí)甚至是不可能的. 因此，我們必須尋求計(jì)算定積分的簡便方法. 不難注意到下面的事實(shí)：設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)的速度為 ，路程為 ，則在時(shí)間區(qū)間 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離為 ；另一方面，由上節(jié)的分析可知，該距離應(yīng)為 .由此有 （1）即： 在 上的積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在 的增量. 這一結(jié)論是否具有普遍意義呢？下面來回答這個(gè)問題.1.變上限的積分設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)， ，則 在 上連續(xù)，故積分 存在，稱為變上限的積分. 為避免上限與積分變量混淆，將它改記為 . 顯然，對 上任一點(diǎn) ，都有一個(gè)確定的積分值與之對應(yīng)（圖5-6），所以它在 上定義了一個(gè)函數(shù)，記作 .即 . （2）函數(shù) 具有如下重要性質(zhì)： 定理1 如果 在區(qū)間 上連續(xù)，則由（2） 式定義的積分上限的函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且有 . （3）證 當(dāng)上限在點(diǎn) 處有增量 時(shí)， .由于 在此區(qū)間連續(xù)，由積分中值定理得 （ 介于 與 之間）.故 .當(dāng) 時(shí)， . 再由 的連續(xù)性得 .推論 若函數(shù) 在區(qū)間 連續(xù)，則變上限的函數(shù) 是 在 上的一個(gè)原函數(shù).由推論可知：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù). 由此證明了上一章給出的原函數(shù)存在定理.例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） ; (2) .解 （1） .(2) .例2 設(shè) 均可導(dǎo)，求 的導(dǎo)數(shù).解 .注 是 的復(fù)合函數(shù)，它由 ， 復(fù)合而成，求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算， 的導(dǎo)數(shù)計(jì)算與 完全相似. 例3 求極限 .解 此極限為 型，用洛必達(dá)法則求解，故2.牛頓-萊布尼茨公式現(xiàn)在我們來證明對任意連續(xù)函數(shù)與（1）式相應(yīng)的結(jié)論成立.定理2 牛頓（Newton）-萊布尼茨（Leibniz）公式 如果函數(shù) 是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù)，則 （4）證 由于 與 均為 的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)知 .上式中令 ，得 ；再令 ，得 .即 .公式（4）稱為牛頓-萊布尼茨公式.牛頓-萊布尼茨公式是17世紀(jì)后葉由牛頓與萊布尼茨各自獨(dú)立地提出來的，它揭示了定積分與導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算之間的關(guān)系，因而被稱為微積分基本定理. 這個(gè)定理為定積分的計(jì)算提供了一種簡便的方法. 在運(yùn)用時(shí)常將公式寫出如下形式： （5）例4 計(jì)算 .解 .例5 計(jì)算 .解 .例6 計(jì)算 .解 .例7 求 .解 由區(qū)間可加性，得. 例8 求正弦曲線 在 上與 軸所圍成的平面圖形（圖5-7）的面積.解 這個(gè)曲邊梯形的面積 .例9 設(shè) .求 .解 因?yàn)槎ǚe分 是一個(gè)常數(shù)，所以，可設(shè) =A，故 .上式兩邊在[0,1]上積分得A= ，移項(xiàng)后，得 ，所以 .小結(jié)：1.變上限的積分 如果 在區(qū)間 上連續(xù)，則有 .2.牛頓-萊布尼茨公式 ，其中 是 的一個(gè)原函數(shù)，而原函數(shù)可以用不定積分的方法求得.。

3.微積分知識(shí)（具體內(nèi)容）

函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則 函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（差）. 用公式可寫為：。

其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。 例題：已知，求 解答： 例題：已知，求 解答：函數(shù)的積商求導(dǎo)法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。

用公式可寫成： 例題：已知，求 解答：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成： 例題：已知，求 解答： 注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。

函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成： 例題：已知，求 解答：不定積分的概念 原函數(shù)的概念 已知函數(shù)f(x)是一個(gè)定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都有 dF'(x)=f(x)dx， 則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。

例：sinx是cosx的原函數(shù)。 關(guān)于原函數(shù)的問題 函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個(gè)問題我們以后來解決。

若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個(gè)呢？ 我們可以明顯的看出來：若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)， 即：F"(x)=f(x)， 則函數(shù)族F(x)+C(C為任一個(gè)常數(shù))中的任一個(gè)函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)， 故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個(gè).不定積分的概念 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分， 記作。 由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族 F(x)+C. 即：=F(x)+C 例題：求：. 解答：由于，故=不定積分的性質(zhì) 1、函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和； 即： 2、求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來， 即： 求不定積分的方法換元法 換元法（一）：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u=g(x)可導(dǎo)，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數(shù). 即有換元公式： 例題：求 解答：這個(gè)積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。

設(shè)u=2x，那末cos2x=cosu,du=2dx，因此： 換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g'(t)≠0，又設(shè)f[g(t)]g'(t)具有原函數(shù)φ（t）， 則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).（其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)） 即有換元公式： 例題：求 解答：這個(gè)積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元. 設(shè)x=asint（-π/2<t<π/2），那末，dx=acostdt，于是有： 關(guān)于換元法的問題 不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應(yīng)根據(jù)具體實(shí)例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。分部積分法 這種方法是利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。

設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道，兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為： （uv）'=u'v+uv'，移項(xiàng)，得 uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得： ， 這就是分部積分公式 例題：求 解答：這個(gè)積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積分法。 設(shè)u=x,dv=cosxdx，那末du=dx,v=sinx，代入分部積分公式得： 關(guān)于分部積分法的問題 在使用分部積分法時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會(huì)南轅北轍。

選取u和dv一般要考慮兩點(diǎn)： （1）v要容易求得； （2）容易積出。

4.微積分相關(guān)知識(shí)

微積分公式 Dx sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec2 x cot x = -csc2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x - cot x | + C sin-1(-x) = -sin-1 x cos-1(-x) = - cos-1 x tan-1(-x) = -tan-1 x cot-1(-x) = - cot-1 x sec-1(-x) = - sec-1 x csc-1(-x) = - csc-1 x Dx sin-1 ()= cos-1 ()= tan-1 ()= cot-1 ()= sec-1 ()= csc-1 (x/a)= sin-1 x dx = x sin-1 x++C cos-1 x dx = x cos-1 x-+C tan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+C cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+C sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+C csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+C sinh-1 ()= ln (x+) xR cosh-1 ()=ln (x+) x≥1 tanh-1 ()=ln () |x| 1 sech-1()=ln(+)0≤x≤1 csch-1 ()=ln(+) |x| >0 Dx sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech2 x coth x = -csch2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan-1 (e-x) + C csch x dx = 2 ln || + C duv = udv + vdu duv = uv = udv + vdu → udv = uv - vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1 cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ Dx sinh-1()= cosh-1()= tanh-1()= coth-1()= sech-1()= csch-1(x/a)= sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ C cosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ C tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ C coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ C sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C sin 3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ →sin3θ= （3sinθ-sin3θ） →cos3θ= （3cosθ+cos3θ） sin x = cos x = sinh x = cosh x = 正弦定理：= ==2R 余弦定理： a2=b2+c2-2bc cosα b2=a2+c2-2ac cosβ c2=a2+b2-2ab cosγ sin （α±β）=sin α cos β ± cos α sin β cos （α±β）=cos α cos β sin α sin β 2 sin α cos β = sin （α+β） + sin （α-β） 2 cos α sin β = sin （α+β） - sin （α-β） 2 cos α cos β = cos （α-β） + cos （α+β） 2 sin α sin β = cos （α-β） - cos （α+β） sin α + sin β = 2 sin （α+β） cos （α-β） sin α - sin β = 2 cos （α+β） sin （α-β） cos α + cos β = 2 cos （α+β） cos （α-β） cos α - cos β = -2 sin （α+β） sin （α-β） tan （α±β）=， cot （α±β）= ex=1+x+++…++ … sin x = x-+-+…++ … cos x = 1-+-+++ ln (1+x) = x-+-+++ tan-1 x = x-+-+++ (1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n = n (n+1) = n (n+1)(2n+1) = [ n (n+1)]2 Γ（x） = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dt β（m, n） =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx。

5.學(xué)習(xí)微積分學(xué)需要哪些基礎(chǔ)知識(shí),越詳細(xì)越好,（小學(xué)文化,零基礎(chǔ)）

線性代數(shù)：簡單說就是y=ax+b類的函數(shù)，理解斜率a的概念。因?yàn)槲⒎e分分析是把復(fù)雜的曲線用線性的方式去理解，并求解。

三角函數(shù)：簡單的sinx,cosx之類涉及到旋轉(zhuǎn)就會(huì)用到sinx,conx之類。sinx^2+cosx^2=1等

幾何：勾股定理等最簡單最普遍的定力，不需要太深入。

然后就可以開始學(xué)習(xí)了。上述內(nèi)容涉及越深越好，不過不需要很深入基礎(chǔ)的理解就可以。

微積分是一種思想，一種對事物的分析方式，當(dāng)然很復(fù)雜的需要很多技巧也就是需要很多數(shù)學(xué)函數(shù)等的性質(zhì)，但理解微積分思想和分析方式不需要那么高深的數(shù)學(xué)技巧以及函數(shù)性質(zhì)。

最重要的是堅(jiān)持，因?yàn)槲⒎e分說它玄不玄，說不玄也挺玄的東西?？次蛐粤?。

還有不要看國內(nèi)的微積分書籍，可能有很好的，不過我看了幾本都想睡覺，可以這樣理解書上的是文言文“廢話多”，其實(shí)在高深的理論能做到用白話說明才是牛B的。所以去網(wǎng)上搜索國外的教學(xué)視頻，他們都是實(shí)際的題，形象的去描述問題。