等比數(shù)列梳理整合(等比數(shù)列的一些知識(shí))

1.等比數(shù)列的一些知識(shí)

一般地，如果有一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于現(xiàn)中一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比；公比通常用字母表示（），即。

等比數(shù)列具有以下性質(zhì)：

(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：或；

(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：；

(3)等比中項(xiàng)：；

(4)無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)公式：對(duì)于等比數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)的和，記為，即；

(5)設(shè)是等比數(shù)列，則（是常數(shù)），仍成等比數(shù)列；

(6)設(shè)，是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；

(7)設(shè)是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且則也是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；

(8)設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，則是等差數(shù)列；

(9)若，則；特別地，當(dāng)時(shí)，；

(10)設(shè)，，，則有；

(11)其他衍生等比數(shù)列：若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則

①.為等比數(shù)列，公比為；

②.（即）為等比數(shù)列，公比為；

2.求一下數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)梳理,那些等差等比的公式

1）如果復(fù)合是加或減，則其求和分別求等差數(shù)列及等比數(shù)列的和，再?gòu)?fù)合即可。

2）如果復(fù)合是乘，則可用如下方法求和：設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d等比數(shù)列bn=b1q^(n-1)其積cn=anbn,cn的和為SnSn=a1b1+a2b2++anbnqSn=a1b2++a(n-1)bn+anb(n+1)兩式相減：（1-q）Sn=a1b1+db2++dbn-anb(n+1)=a1b1+d(b2+bn)-anb(n+1)=a1b2+db2[1-q^(n-1)]/(1-q)-anb(n+1)因此Sn=a1b2/(1-q)+db2[1-q^(n-1)]/(1-q)^2-anb(n+1)/(1-q)3）如果復(fù)合是除。這里如果除數(shù)為等比數(shù)列，則由于等比數(shù)列的倒數(shù)仍為等比數(shù)列，所以可用上面的方法求和。

這里如果除數(shù)為等差數(shù)列，則一般情況下并沒有初等的求和公式。

3.求數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

3.等差數(shù)列的基本性質(zhì)⑴公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d.⑵公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd.⑶若{ a }、{ b }為等差數(shù)列，則{ a ±b }與{ka +b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列.⑷對(duì)任何m、n ，在等差數(shù)列{ a }中有：a = a + (n-m)d，特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性.⑸、一般地，如果l,k,p，…，m,n,r，…皆為自然數(shù)，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng){a }為等差數(shù)列時(shí)，有：a + a + a + … = a + a + a + … .⑹公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項(xiàng)數(shù)之差).⑺如果{ a }是等差數(shù)列，公差為d，那么，a ,a ，…，a 、a 也是等差數(shù)列，其公差為-d；在等差數(shù)列{ a }中，a -a = a -a = md .（其中m、k、）⑻在等差數(shù)列中，從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列末項(xiàng)除外）都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).⑼當(dāng)公差d>0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)d⑽設(shè)a ,a ,a 為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且a 與a ,a 與a 的項(xiàng)距差之比 = （ ≠-1），則a = .5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S 的基本性質(zhì)⑴數(shù)列{ a }為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{ a }的前n項(xiàng)和S 可以寫成S = an + bn的形式（其中a、b為常數(shù)）.⑵在等差數(shù)列{ a }中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n N )時(shí)，S -S = nd， = ；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為（2n-1） (n )時(shí)，S -S = a ， = .⑶若數(shù)列{ a }為等差數(shù)列，則S ,S -S ,S -S ，…仍然成等差數(shù)列，公差為 .⑷若兩個(gè)等差數(shù)列{ a }、{ b }的前n項(xiàng)和分別是S 、T (n為奇數(shù))，則 = .⑸在等差數(shù)列{ a }中，S = a,S = b (n>m)，則S = (a-b).⑹等差數(shù)列{a }中， 是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n， ）均在直線y = x + (a - )上.⑺記等差數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和為S .①若a >0，公差d0，則當(dāng)a ≤0且a ≥0時(shí)，S 最小.3.等比數(shù)列的基本性質(zhì)⑴公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為q ( m為等距離的項(xiàng)數(shù)之差).⑵對(duì)任何m、n ，在等比數(shù)列{ a }中有：a = a · q ，特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，便得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有普遍性.⑶一般地，如果t ,k,p，…，m,n,r，…皆為自然數(shù)，且t + k,p，…，m + … = m + n + r + … （兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng){a }為等比數(shù)列時(shí)，有：a .a .a .… = a .a .a .… ..⑷若{ a }是公比為q的等比數(shù)列，則{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |}、{q }、{q}、{ }.⑸如果{ a }是等比數(shù)列，公比為q，那么，a ,a ,a ，…，a ，…是以q 為公比的等比數(shù)列.⑹如果{ a }是等比數(shù)列，那么對(duì)任意在n ，都有a ·a = a ·q >0.⑺兩個(gè)等比數(shù)列各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個(gè)數(shù)列的公比的積.⑻當(dāng)q>1且a >0或00且01時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式S 的基本性質(zhì)⑴如果數(shù)列{a }是公比為q 的等比數(shù)列，那么，它的前n項(xiàng)和公式是S =也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q = 1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q≠1進(jìn)行討論.⑵當(dāng)已知a ,q,n時(shí)，用公式S = ；當(dāng)已知a ,q,a 時(shí)，用公式S = .⑶若S 是以q為公比的等比數(shù)列，則有S = S +qS .⑵⑷若數(shù)列{ a }為等比數(shù)列，則S ,S -S ,S -S ，…仍然成等比數(shù)列.⑸若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列（q≠-1）前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S 與T ，次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S 與T ，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S 與T ，則S ,S ,S 成等比數(shù)列，T ,T ,T 亦成等比數(shù)列.。

4.幫忙總結(jié)一下高中數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)

高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實(shí)進(jìn)行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個(gè)問題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個(gè)數(shù)列的前 項(xiàng)和 ，則其通項(xiàng)為 若 滿足 則通項(xiàng)公式可寫成 .（2）數(shù)列計(jì)算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計(jì)算，是高考命題重點(diǎn)考查的內(nèi)容.（3）解答有關(guān)數(shù)列問題時(shí)，經(jīng)常要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo). ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解. ②分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為 及 ；已知 求 時(shí)，也要進(jìn)行分類； ③整體思想：在解數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢(shì)，運(yùn)用整 體思想求解. （4）在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，要認(rèn)真地進(jìn)行分析，將實(shí)際問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用有關(guān)數(shù)列知識(shí)和方法來解決.解答此類應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運(yùn)用，決不是簡(jiǎn)單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項(xiàng)不要弄錯(cuò). 一、基本概念： 1、數(shù)列的定義及表示方法： 2、數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)： 3、有窮數(shù)列與無窮數(shù)列： 4、遞增（減）、擺動(dòng)、循環(huán)數(shù)列： 5、數(shù)列的通項(xiàng)公式an: 6、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn: 7、等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 8、等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 二、基本公式： 9、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an= 10、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)） 當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。

11、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn= Sn= Sn= 當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a1≠0）,Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。 12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0） 13、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 （是關(guān)于n的正比例式）； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn= Sn= 三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 14、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。

15、等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則 16、等比數(shù)列中，若m+n=p+q，則 17、等比數(shù)列的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。 18、兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列、仍為等差數(shù)列。

19、兩個(gè)等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列 、、仍為等比數(shù)列。 20、等差數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

21、等比數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。 22、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq； 四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 （為什么？） 24、為等差數(shù)列，則 （c>0）是等比數(shù)列。

25、（bn>0）是等比數(shù)列，則 （c>0且c 1） 是等差數(shù)列。 26. 在等差數(shù)列 中： （1）若項(xiàng)數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， ， 27. 在等比數(shù)列 中： （1） 若項(xiàng)數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， 四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。

關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)。 28、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n 29、錯(cuò)位相減法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂項(xiàng)法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求數(shù)列的最大、最小項(xiàng)的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的。

5.等比數(shù)列的性質(zhì)及?？碱}型

1 設(shè) An=a1*q^(n-1) Bn=b1*Q^(n-1) 則Cn=An+Bn=a1*q^(n-1)+b1*Q^(n-1) C(n+1)=a1*q^n+b1*Q^n C(n+1)/Cn=[a1*q^(n-1)+b1*Q^(n-1)]/[a1*q^n+b1*Q^n] 因?yàn)镃(n+1)/Cn為常數(shù)，也就是說這里邊不純?cè)诤琻的項(xiàng) 且僅當(dāng)Q=q時(shí)C(n+1)/Cn為常數(shù) 證明數(shù)列cn不是等比數(shù)列。

2） 因?yàn)?a3*a4=32/9=a1*a6 又 因?yàn)?a1+a6=11 (a1+a6)^2=121 所以a1-a6=根號(hào){（a1-a6）^2}=根號(hào){（a1+a6）^2-4a1*a6} =+31或-31 即 An為首相為 -10 ，等比為-21/10的等比數(shù)列 或An為首相為 21 ，等比為-10/21的等比數(shù)列 代入 3/2 a2,a的三分之二次方，a4+4/a一次成等差數(shù)列 這個(gè)條件驗(yàn)證得哪是哪個(gè)。

6.高一數(shù)學(xué)知識(shí)梳理與傳授高分+加高分

一 集合與簡(jiǎn)易邏輯

集合具有四個(gè)性質(zhì) 廣泛性 集合的元素什么都可以

確定性 集合中的元素必須是確定的，比如說是好學(xué)生就不具有這種性質(zhì)，因?yàn)樗母拍钍悄：磺宓?/p>

互異性 集合中的元素必須是互不相等的，一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)

無序性 集合中的元素與順序無關(guān)

二 函數(shù)

這是個(gè)重點(diǎn)，但是說起來也不好說，要作專題訓(xùn)練，比如說二次函數(shù)，指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)等等做這一類型題的時(shí)候，要掌握幾個(gè)函數(shù)思想如 構(gòu)造函數(shù) 函數(shù)與方程結(jié)合 對(duì)稱思想，換元等等

三 數(shù)列

這也是個(gè)比較重要的題型，做體的時(shí)候要有整體思想，整體代換，等比等差要分開來，也要注意聯(lián)系，這樣才能做好，注意觀察數(shù)列的形式判斷是什么數(shù)列，還要掌握求數(shù)列通向公式的幾種方法，和求和公式，求和方法，比如裂項(xiàng)相消，錯(cuò)位相減，公式法，分組求和法等等

四 三角函數(shù)

三角函數(shù)不是考試題型，只是個(gè)應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，所以只要記熟特殊角的三角函數(shù)值和一些重要的定理就行

五 平面向量

這是個(gè)比較抽象的把幾何與代數(shù)結(jié)合起來的重難點(diǎn)，結(jié)體的時(shí)候要有技巧，主要就是把基本知識(shí)掌握到位，注意拓展，另外要多做題，見的題型多，結(jié)體的時(shí)候就有思路，能夠把問題簡(jiǎn)單化，有利于提高做題效率

高一的數(shù)學(xué)只是入門，只要把基礎(chǔ)的掌握了，做題就沒什么大問題了，數(shù)學(xué)就可以上130

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7.幫忙總結(jié)一下高中數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)

等差數(shù)列：a1 a2 a3……an，它們中間的公差為d。

2*a2=a1+a3[等差數(shù)列中相鄰的三個(gè)數(shù)，a(n-1),an,a(n+1),2*an=a(n-1)*a(n+1)] 求和公式：Sn=(a1+an)n/2 Sn=na1+n(n-1)d/2; (d為公差)等比數(shù)列：a1,a2,a3……an，公比為q a2^2=a1*a3[等比數(shù)列中相鄰的三個(gè)數(shù)，a(n-1),an,a(n+1),an^2=a(n-1)*a(n+1)] 求和公式： 當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為 Sn=na1 等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列 有關(guān)系：A=(a+b)/2 這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。 等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

有關(guān)系：G^2=ab; G=±（ab）^(1/2)【這是基礎(chǔ)的，考試中比較常用的，數(shù)列題一般不會(huì)難的】。